АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ и экономический анализ полученных результатов

Ленинградский областной институт экономики и финансов

Кафедра высшей математики

ОТЧЕТ

О лабораторной работе № 6

по дисциплине: «Экономико-математические

модели»

на тему: «Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара»

(вариант №5)

Гатчина

Содержание

Введение…………………………………………………………………………….3

1. Постановка задачи………………………………………………………4

2. Алгоритм вычисления показателей и экономический анализ полученных результатов…………………………………….10

Заключение……………………………………………………………………...18

Список использованной литературы……………………………...19

Приложение 1……………………………………………………………………20

Приложение 2……………………………………………………………………21

Приложение 3……………………………………………………………………22

Приложение 4……………………………………………………………………23

Приложение 5……………………………………………………………………24

ВВЕДЕНИЕ

Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара описывает динамику взаимосвязи основных макроэкономических показателей закрытой экономики.

Данная работа посвящена исследованию динамики дохода при различной динамике потребления в модели Харрода-Домара. В работе необходимо определить принципы формирования структуры выпуска (дохода), распределение его между составляющими, прежде всего – между потреблением и накоплением, а также выявить динамику дохода в зависимости от динамики потребления.

Представленная работа состоит из двух разделов.

В первом разделе делается постановка самой задачи.

Во втором разделе рассматривается алгоритм вычисления показателей и дается экономический анализ полученных результатов.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Модель макроэкономической динамики Харрода-Домара описывает динамику взаимосвязи основных макроэкономических показателей закрытой экономики. При этом доход равен сумме объема потребления и инвестиций :

. (1)

Так как экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю и государственные расходы в модели не выделяются. Основное соотношение в модели Харрода-Домара - это взаимосвязь между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что скорость роста дохода пропорциональна инвестициям:

,(2)

где – коэффициент приростной капиталоёмкости, или капиталоёмкости прироста дохода, а обратная величина: b= называется приростной капиталоотдачей.

При построении модели приняты следующие допущения:

1. Инвестиционный лаг равен нулю и, следовательно, инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала:

(3)

где - непрерывная функция прироста капитала во времени.

2. Выбытие капитала отсутствует.

3. Производственная функция в модели линейна. Это вытекает из пропорциональности прироста дохода приросту капитала, так как

,(4)

и, следовательно: .(5)

Однако линейная производственная функция:

, (6)

где ,

обладает этим свойством, если либо , либо . Из данных положений вытекают следующие допущения модели:

1. Затраты труда постоянны во времени либо выпуск не зависит от затрат труда, поскольку труд не является дефицитным ресурсом;

2. Модель не учитывает влияния на объем выпуска продукции научно-технического прогресса.

В модели Харрода-Домара предполагается, что динамика объёма потребления задаётся экзогенно. Этот показатель может считаться постоянным во времени, расти с заданным постоянным темпом или иметь какую-либо другую динамику

1) Простейший вариант модели получается, если считать . В этом случае все ресурсы экономики направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста дохода и модель, учитывая (1), (2) принимает следующий вид:

(7)

Представив (7) в стандартном виде, получим:

. (8)

Выражение (8) – однородное линейное дифференциальное уравнение, решение которого имеет вид:

. (9)

Непрерывный темп прироста равен . Это максимально возможный (технологический) темп прироста дохода в рассматриваемой экономической системе.

2) Если , то получаем:

(10)

или, сделав перестановку членов уравнения, получим:

. (11)

Это - неоднородное линейное дифференциальное уравнение и его частное решение имеет вид:. Складывая частное решение уравнения (11) с общим решением однородного уравнения , получаем его общее решение:

. (12)

Подставив в (12) , получим , следовательно, общее решение уравнения (11) будет следующим:

. (13)

Непрерывный темп прироста дохода для уравнения (11) получим из следующего выражения:

. (14)

Следовательно, непрерывный темп прироста дохода равен:

. (15)

Он составляет: в начальный момент времени, при .С ростом времени растет доход Y(t), а потребление С(t) = const. В связи с этим v(t) возрастая, стремится к при , так как доход растёт, а постоянный объём потребления составляет всё меньшую его долю. Величина в скобках:

(16)

является нормой накопления в момент времени . Темп прироста дохода пропорционален этой величине, как и показателю приростной капиталоотдачи b.

При прочих равных условиях рост нормы накопления пропорционально увеличивает темпы прироста дохода. Необходимо также отметить, что при C(0) = Y(0) непрерывный темп прироста дохода равен нулю и, следовательно, роста дохода вообще не происходит.

3) При исследовании варианта модели с показателем потребления , растущим с постоянным темпом , т.е. дифференциальное уравнение модели принимает вид:

(17)

Приведём данное уравнение к стандартному виду:

. (18)

Это - неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Решение этого уравнения имеет вид:

. (19)

Согласно экономическому смыслу ясно, что темп прироста потребления не должен быть больше максимально возможного общего темпа прироста . Иначе потребление будет занимать всё большую часть дохода, что сведёт к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Это также видно из формулы (19) решения модели. Действительно, если (например, ),то коэффициент отрицателен, а растёт быстрее, чем , следовательно, отрицательное второе слагаемое через некоторое время перевесит первое.

При , вид решения в рассматриваемой модели во многом зависит от соотношения между показателями и .Величина a - это норма накопления в начальный момент времени . Значение a определяется по формуле (16):

(20)

Если , то темп прироста дохода равен темпу прироста потребления. Норма накопления в этом случае постоянна во времени и равна , а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоёмкости. Именно эта модификация модели экономического роста, в которой постоянна норма накопления, называется моделью Харрода-Домара.

Если в рассматриваемой модели , то темп прироста потребления оказывается слишком высоким для экономики. В этом случае коэффициент в формуле (19) отрицателен, так как , и по той же причине первое отрицательное слагаемое с ростом времени превысит второе. Это приводит к тому, что темп прироста дохода падает и становится с некоторого момента отрицательным, а через некоторое время и сам доход становится равным нулю. После этого модель теряет экономический смысл.

3) случай, когда Y(0) = C(0).

При этом, согласно формуле (20), величина a₀ = 0. Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const. Если же увеличивать величину темпа прироста потребления r, используя формулу:

, (21)

где k – увеличивающий коэффициент, то при сохранении условия:Y(0) = C(0) имеем тот же результат.

Таким образом, для получения самоподдерживающегося роста дохода в модели Харрода-Домара необходимо в первоначальный момент иметь превышение дохода над потреблением и чем выше это превышение, тем выше темп прироста дохода.

Исходные данные приведены в таблице 1.

Таблица 1

АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ и экономический анализ полученных результатов

1. В качестве изучаемой системы берется экономика условного объекта.

2. Используя табличный редактор Excel, рассчитываем по формуле (9) зависимость Y = f₁(t) при отсутствии потребления, т.е. C(t) = 0. Значения коэффициента приростной капиталоемкости В и Y(0) приведены в таблице исходных данных. Величину t задаём в пределах от 0 до 20 лет с интервалом Dt = 1 году. Полученные результаты записаны в таблице 2.

Таблица 2

Затем, применив "Мастер диаграмм" табличного редактора Excel, строим график зависимости Y = f₁(t) (Приложение 1).

По графику Y = f₁(t) можно сделать вывод, что в этом случае все ресурсы направляются на инвестиции, в результате чего могут быть определены максимальные технически возможные темпы роста дохода. Непрерывный темп прироста равен (1/4). Это максимально возможный (технологический) темп прироста дохода в рассматриваемой экономической системе.

3. Аналогично производим расчеты значений трех функций Y = f(t) по формуле (13) для трех случаев C(0) при постоянной функции потребления, т.е. C(t) = C(0) = const. Численные значения C(0) для каждого случая берём из таблицы 1.

Полученные результаты записаны в таблице 3.

Таблица 3

Применив "Мастер диаграмм" табличного редактора Excel, строим на одной диаграмме графики зависимостей: Y = f₂(t), Y = f₃(t), Y = f₄(t), С = f₅(t), С = f₆(t), С = f₇(t) (Приложение 2).

По графикам Y = f₂(t) и С = f₅(t), Y = f₃(t) и С = f₆(t) можно сделать вывод, что с ростом времени растет доход Y(t), а потребление C(t) = const. В связи с этим непрерывный темп прироста дохода v(t) возрастая, стремится к при , так как доход растёт, а постоянный объём потребления составляет всё меньшую его долю. Также можно отметить, что графики Y = f₂(t), Y = f₃(t), С = f₅(t), С = f₆(t) ниже Y = f₁(t) на величину потребления.

Необходимо также отметить, что при C(0) = Y(0) непрерывный темп прироста дохода равен нулю и, следовательно, роста дохода вообще не происходит.

4. Для функции потребления, растущей с постоянным темпом:

(22)

рассчитываем значения темпов роста r для трех различных значений C(0) по формуле:

(23)

Величины B, Y(0) и C(0) выбираются из таблицы исходных данных.

Получаем:

5. Для каждого полученного значения r рассчитываем значения С = f₈(t), С = f₉(t), С = f₁₀(t), используя формулу (22), и значения Y = f₁₁(t), Y = f₁₂(t), Y = f₁₃(t), используя формулу (19). Значения t задаём в пределах от 0 до 30 лет с интервалом Dt = 1 году.

Получаем:

Таблица 4

С помощью "Мастера диаграмм" табличного редактора Excel, строим на одной диаграмме графики зависимостей: С = f₈(t), С = f₉(t), С = f₁₀(t), Y = f₁₁(t), Y = f₁₂(t), Y = f₁₃(t) (Приложение 3).

По графикам С = f₈(t) и Y = f₁₁(t) [С = f₉(t) и Y = f₁₂(t)], когда = 0,07 [=0,12], причем r < 1/B (0,16 < 0,25 [0,12 < 0,25]), можно сделать вывод, что темп прироста дохода равен темпу прироста потребления. Норма накопления в этом случае постоянна во времени и равна , а темп прироста дохода пропорционален норме накопления и обратно пропорционален приростной капиталоёмкости. Именно эта модификация модели экономического роста, в которой постоянна норма накопления, называется моделью Харрода-Домара.

Из графиков С = f₁₀(t) и Y = f₁₃(t) следует,что когда Y(0) = C(0), согласно формуле (20), величина a₀ = 0. Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const.

6. Рассчитываем значения темпов роста функции C(t) для трех различных значений C(0) по формуле:

. (24)

Получаем:

7. Используя формулы (22) и (19), для каждого значения найденного r, рассчитываем зависимости: С = f₁₄(t), С = f₁₅(t), С = f₁₆(t), Y = f₁₇(t), Y = f₁₈(t), Y = f₁₉(t) и строим на одной диаграмме графики этих функций (Приложение 4). Полученные результаты занесены в таблицу 5.

Таблица 5

По графикам С = f₁₄(t) и Y = f₁₇(t) [С = f₁₅(t) и Y = f₁₈(t)], когда (0,25 > 0,2 > 0,16 [0,25 > 0,15 > 0,12]), можно сделать вывод, что темп прироста потребления в этом случае оказывается слишком высоким для экономики. В этом случае коэффициент в формуле (19) отрицателен, так как , и по той же причине первое отрицательное слагаемое с ростом времени превысит второе. Это приводит к тому, что темп прироста дохода падает и становится с некоторого момента отрицательным, а через некоторое время и сам доход становится равным нулю. После этого модель теряет экономический смысл.

Из графиков С = f₁₆(t) и Y = f₁₉(t) видно, когда Y(0) = C(0), если увеличивать величину темпа прироста потребления r, используя формулу (21), то согласно формуле (20), величина a₀ = 0. Следовательно, для модели Харрода-Домара r также будет равно нулю. В формуле (19) первое слагаемое станет равным нулю, а второе слагаемое будет равно Y(0) для всех значений t, т.е. Y(t) = Y(0) = const.

8. Для случая, когда , т.е. 0,5, рассчитываем по формуле (22) значения С = f₂₀(t), С = f₂₁(t), С = f₂₂(t) и по формуле (19) значения Y = f₂₃(t), Y = f₂₄(t), Y = f₂₅(t), t задаём в пределах от 0 до 30 лет с интервалом Dt = 1 году. В таблице 6 приведены полученные значения:

Таблица №6

Применив "Мастер диаграмм" табличного редактора Excel, строим на одной диаграмме графики этих зависимостей (Приложение 5).

По графикам С = f₂₀(t) и Y = f₂₃(t), С = f₂₁(t) и Y = f₂₄(t), С = f₂₂(t) и Y = f₂₅(t) видно, когда (в нашем случае ), то потребление будет занимать всё большую часть дохода, что сведёт к нулю сначала инвестиции, а затем и доход. Это также видно из формулы (19) решения модели. Действительно, если ,то коэффициент отрицателен, а растёт быстрее, чем , следовательно, отрицательное второе слагаемое через некоторое время перевесит первое.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Относительная простота модели позволяет более глубоко изучить взаимосвязь динамики инвестиций и роста выпуска, получить точные формулы траекторий рассматриваемых параметров при сделанных предпосылках.

Исследовав динамики дохода при различной динамике потребления для данной модели, стало ясно, что для получения самоподдерживающегося роста дохода необходимо в первоначальный момент иметь превышение дохода над потреблением и чем выше это превышение, тем выше темп прироста дохода.

Список использованной литературы

1. В.Ф.Пучков методическое пособие «Математические модели макроэкономики» - Гатчина :изд-во ЛОИЭФ, 2005.

2. Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе.

3. Доугерти К. Введение в эконометрику: Пер. с англ. – М.: ИНФРА-М, 1999. – XIV, 402 с.

4. Елисеева И.И. «Эконометрика»: Учебник – М.: Финансы и статистика, 2001. – 344 с.: ил.

5. Курицкий, Поиск оптимальных решений в EXCEL – М., 2000, 245 с.

6. Политова И.Д. Дисперсионный и корреляционный анализ в эконометрике. Учебное пособие для экономических факультетов. М.: Дело, 1998. – 248 с.

7. Пучков В.Ф. «Эконометрика»: Уч. пособие. Ч. 1. – Гатчина: Изд–во ЛОИЭФ, 2005. – 51 с.

8. Экономико-математические методы и прикладные модели: Уч. пособие / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

ПРИЛОЖЕНИЕ 4

ПРИЛОЖЕНИЕ 5