Кинетическая энергия вращения

Глава 4

Механика твердого тела

Момент инерции

При изучении вращения твердого тела пользуются понятием момента инерции. Моментом инерциисистемы (тела) отно­сительно оси вращения называется физи­ческая величина, равная сумме произведе­ний масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматри­ваемой оси:

В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу

где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с коорди­натами х, у, z.

В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой Л и радиусом R относительно его геометрической оси (рис.23). Разобьем

 

 

цилиндр на отдельные полые концентриче­ские цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом rи внешним — r+dr. Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r2dm (так как dr<<r, то считаем, что расстояние всех точек ци­линдра от оси равно r), где dm — масса всего элементарного цилиндра; его объем 2prhdr. Если r — плотность материала, то dm=r•2prhdr и dJ = 2prr3dr. Тогда мо­мент инерции сплошного цилиндра

но так как pR'2h — объем цилиндра, то его масса m = pR2hr, а момент инерции

J = 1/2R2.

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относи­тельно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера:момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, про­ходящей через центр масс С тела, сло­женному с произведением массы mтела на квадрат расстояния а между осями: J = Jc + ma2. (16.1)

Таблица 1

В заключение приведем значения мо­ментов инерции (табл. 1) для некоторых тел (тела считаются однородными, т — масса тела).

Кинетическая энергия вращения

Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж­ной оси z, проходящей через него (рис. 24). Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными мас­сами m1, m2, ..., mn, находящиеся на рас­стоянии r1, r2, ..., rn от оси вращения. При вращении твердого тела относительно не­подвижной оси отдельные его элементар­ные объемы массами mi, опишут окружно­сти различных радиусов ri и имеют раз­личные линейные скорости vi. Но так как мы рассматриваем абсолютно твердое те­ло, то угловая скорость вращения этих объемов одинакова:

w = v1/r1 = v2/r2 = ... = vn/rn. (17.1)

Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энер­гий его элементарных объемов:

 

 

или

Используя выражение (17.1), получим

где Jz — момент инерции тела относитель­но оси 2. Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела

Tвр = Jzw2/2. (17.2)

Из сравнения формулы (17.2) с вы­ражением (12.1) для кинетической энер­гии тела, движущегося поступательно (T= mv2/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инер­тности тела. Формула (17.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг непод­вижной оси.

В случае плоского движения тела, на­пример цилиндра, скатывающегося с на­клонной плоскости без скольжения, энер­гия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вра­щения:

где m — масса катящегося тела; vc — ско­рость центра масс тела; J с — момент инерции тела относительно оси, проходя­щей через его центр масс; w — угловая скорость тела.