Конечные расширения и их связь с простыми алгебраическими расширениями
Заметим, что любое расширение поля
можно рассматривать как линейное векторное пространство над полем
, векторами которого являются все числа из поля
(включая и числа поля
), а скалярами – числа из поля
. Проверка для
всех аксиом векторного пространства не вызывает затруднений.
Для нас важен случай, когда пространство конечномерно.
Определение 1. Если расширение поля
является конечномерным пространством над полем
, то
называется конечным расширением поля
, а его размерность (обозначаемая символом
) – степенью конечного расширения поля
.
Теорема 1. Пусть в цепочке полей
каждое поле является конечным расширением поля
степени
,
. Тогда
является конечным расширением поля
степени
.
Доказательству теоремы предпошлем лемму.
Лемма 1. Если система векторов
(1)
есть базис пространства над полем
, а система
(2)
есть базис пространства над полем
, то система
(3)
является базисом пространства над полем
.
Доказательство. Требуется доказать, что система (3) линейно независима в пространстве над полем
и каждый вектор из
линейно выражается через систему (3).
Пусть выполняется равенство
,
(4)
Переписывая это равенство в виде
,
,
и учитывая линейную независимость системы (2), заключаем:
,
Но так как система (1) линейно независима в пространстве над полем
, то из последних равенств вытекает:
,
,
Таким образом, равенство (4) возможно только при , т.е. система (3) линейно независима в пространстве
над полем
.
Пусть . Так как система (2) есть базис пространства
над полем
, то
,
.
Но поскольку система (1) есть базис над полем
, что
,
и, следовательно,
что и завершает доказательство леммы.
Из леммы 1 следует, что теорема 1 верна при . Предположим, что теорема верна при
, т.е.
является конечным расширением поля
степени
. Но так как
есть конечное расширение поля
степени
, то согласно лемме
есть конечное расширение поля
степени
.
Таким образом, теорема верна при , а, следовательно, и при любом натуральном значении
.
Теорема 2. Если – алгебраическое над полем
число степени
, то система
(5)
является базисом над полем
.
Доказательство. Равенство
возможно только при , Так как в противном случае степень числа
над полем
была бы меньше
. Значит, система (5) линейно независима в пространстве
над полем
.
Пусть . Тогда в силу теоремы 1 §2
,
. Если
– минимальный многочлен числа
, то по теореме о делении с остатком
причем либо , либо степень
меньше
. Значит,
,
,
то есть линейно выражается через векторы системы (5). Таким образом система (5) является базисом пространства
над полем
.
Следствие. Простое алгебраическое расширение является конечным расширением поля
, причем степень этого расширения равна степени алгебраического над полем
числа
.
Теорема 3. Если поле является конечным расширением поля
степени
, то каждый элемент из поля
является алгебраическим над полем
числом степени
, где
– некоторый делитель числа
.
Доказательство. Так как , то любая система, содержащая более
векторов, линейно зависима в пространстве
над полем
. В частности, если
, то линейно зависима система
Это означает, что в поле существуют такие числа
, из которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, что
последнее равенство и означает, что число алгебраично над полем
.
Рассмотрим теперь цепочку полей.
Если система векторов из линейно зависима над полем
, то она линейно зависима и над полем
, и, следовательно,
является конечным расширением поля
. Поэтому в силу теоремы 1
где число есть в силу следствия из теоремы 1 степень алгебраического над полем
числа
.
Таким образом, является делителем числа
, что и завершает доказательство теоремы.
Следствие. Все элементы простого алгебраического расширения поля алгебраичны над полем
.
Составные расширения
Пусть – множество чисел, не обязательно алгебраических над полем
. Присоединим к полю
число
, затем к полю
– число
и т.д. В результате получим цепочку полей
,
в которой каждое поле, начиная с , является простым расширением соседнего предшествующего поля. Тогда поле
при
, называется составным расширением поля
.
Заметим, что два соседних поля и
могут и совпадать; это возможно тогда и только тогда, когда
.
Теорема 1. Составное расширение является минимальным расширением поля
, содержащим множество
. Иначе говоря,
является пересечением всех числовых полей, содержащих поле
и множество
.
□Обозначим через пересечение всех числовых полей, содержащих подполе
и множество
. Требуется доказать, что
. Включение
очевидно. С другой стороны, так как
и
, то в силу минимальности простого расширения поля
справедливо включение
. Аналогично, так как
и
, то в силу минимальности простого расширения
поля
справедливо включение
. Индукцией по
легко доказывается и включение
. Учитывая ранее отмеченное включение
, получим требуемое равенство
. ◘
Следствие. Составное расширение не зависит от порядка присоединения элементов
. ◘
В дальнейшем, когда порядок присоединения элементов не имеет значения, мы будем обозначать составное расширение
через
или через
.
Далее теорема дает информацию о внутреннем строении составного расширения.
Теорема 2(о строении составного расширения). Составное расширение есть множество чисел представимых в виде частного значений многочленов от
переменных с коэффициентами из поля P от чисел
, т.е.
. (1)
Обозначим через правую часть равенства (1). Это множество замкнуто относительно вычитания и деления на неравные нулю числа и, следовательно, является подполем поля
. Нетрудно проверить, подбирая соответствующим образом многочлены
и
, что
и
. Но тогда в силу теоремы 1 справедливо включение
.
С другой стороны, очевидно, что все числа из принадлежат полю
, и, следовательно,
. Следовательно,
, что и требовалось доказать. ◘