Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона

Глава 4. Элементы теории поля

Скалярные и векторные поля.

Поверхность уровня. Векторные линии

Скалярное поле

Функция U(r) , где r= i j k – радиус-вектор произвольной точки пространства , называется скалярным полем.

Наряду с определенным выше скалярным полем рассматривают плоское скалярное поле, т. е. функцию U(r) , где r = i j – радиус-вектор произвольной точки плоскости.

Поверхностью уровня скалярного поля U(r) называется множество точек пространства , удовлетворяющих уравнению , где с – произвольная постоянная.

Аналогично определяется понятие линии уровня плоского скалярного поля U(r) .

Векторное поле

Вектор-функция F(r) i j k называется векторным полем.

Вектор-функция F(r) i j называется плоским векторным полем.

Линии r , касательные к которым в каждой точке их совпадают с направлением векторного поля F , называются векторными линиями этого поля.

Аналогичным образом определяется понятие векторных линий плоского векторного поля.

Градиент

Градиентом скалярного поля называется векторное поле grad i j k i j k.

Градиент скалярного поля в каждой точке перпендикулярен поверхностям уровня этого скалярного поля. Кроме того, градиент скалярного поля показывает направление наибольшего роста функции .

Величиной градиента называют скалярное поле

|grad |

Пример. Найти величину и направление градиента скалярного поля в точке .

Находим частные производные функции :

, , .

Таким образом, grad ijk. Подставляя в последнее равенство координаты точки А, получим:

grad i – j.

Величина градиента при этом будет

|grad | .

Контрольные вопросы:

Дайте определение скалярного поля.
Что называется поверхностью уровня скалярного поля ?
Дайте определение векторного поля.
Что называют векторными линиями поля F?
Дайте определение градиента скалярного поля .

Дивергенция и ротор векторного поля. Оператор Гамильтона

Дивергенция и ротор

Дивергенцией векторного поля Fназывается скалярное поле, определяемое равенством

div F .

Ротором векторного поля Fназывается векторное поле, определяемое следующим образом:

rot F .

Для удобства запоминания принята формальная запись:

rot F ,

где «умножение» символов дифференцирования на одну из функций понимается как взятие соответствующей частной производной зтой функции.

Физический смысл ротора: если вектор-функция v является полем скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, то с точностью до числового множителя ротор векторного поля v представляет собой мгновенную угловую скорость w этого вращения:w rot v.

Ротор векторного поля называют иногда вихрем векторного поля.

Оператор Гамильтона

Оператор Гамильтона или оператор (набла) определяется формулой

i j k.

Применение этого оператора к скалярным и векторным полям с формальной точки зрения соответствует операции «умножения» на вектор с координатами :

i j k,

F ,

F .

Нетрудно заметить, что стоящие в правых частях последних трех равенств выражения суть градиент, дивергенция и ротор полей:

grad , F div F, F rot F.

Пример. Вычислить дивергенцию и ротор векторного поля

F i j k.

По определению, div F . В нашем случае , , . Отсюда находим , , . Следовательно,

div F .

Вычислим ротор поля F:

rot F i j k i j

k .

Контрольные вопросы:

Дайте определение дивергенции векторного поля F .
Дайте определение ротора векторного поля F .
Какой формулой определяется оператор Гамильтона?

Поток векторного поля

Пусть в области задано некоторое векторное поле F i j k, где , , – непрерывно дифференцируемые в области функции. Пусть – гладкая ориентируемая поверхность, на которой выбрана определенная сторона, задаваемая единичной нормалью n к этой поверхности.

Потоком векторного поля F через поверхность S в направлении единичной нормали n называют поверхностный интеграл первого рода:

(1)

Поверхностный интеграл первого рода в формуле (1) связан с поверхностным интегралом второго рода равенством:

(2)

которое дает еще один способ вычисления потока.

Физический смысл потока: если вектор-функция F есть поле скоростей текущей жидкости, то поток П этого векторного поля через поверхность S общему количеству жидкости, протекающей через S за единицу времени.