Нахождение тангенса угла между прямыми заданными угловыми коэффициентами

Задача 1

Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти:

а) уравнения сторон треугольника АВ, АС и ВС;

б) уравнения высот АL, BH и СK;

в) длины высот;

г) величины углов (в градусах, минутах и радианах);

д) уравнение биссектрисы BS;

Е) уравнение медианы СМ.

Решение:

а) Найдём уравнения сторон:

 

Уравнение стороны AВ или уравнение прямой проходящей через точки A(xA; yA) и В(xB; yB), имеет вид: Подставив в эту формулу координаты точек A и B, получаем:     3х-4у-3=0 – общее уравнение прямой (стороны) AB.   у= – уравнение прямой (стороны) AB с угловым коэффициентом. Уравнение стороны AС или уравнение прямой проходящей через точки A(xA; yA) и С(xC; yC), имеет вид: Подставив в эту формулу координаты точек A и С, получаем: 4х+3у-29=0 – общее уравнение прямой (стороны) AС.   у= – уравнение прямой (стороны) AС с угловым коэффициентом. Уравнение стороны BС или уравнение прямой проходящей через точки В(xB; yB) и С(xC; yC), имеет вид: Подставив в эту формулу координаты точек B и С, получаем:   24х-7у+201=0 – общее уравнение прямой (стороны) BС.   у= – уравнение прямой (стороны) BС с угловым коэффициентом.

 

б) Найдём уравнения высот:

определим сначала угловые коэффициенты высот:

AL^BС Þ kAL·kBC=-1     ВH^AС Þ kBH·kAC=-1      

 

найдём уравнения высот:

найдём уравнение высоты AL, как уравнение прямой, проходящей через точку A(xA; yA) в заданном угловым коэффициентом kAL направлении: у-уА=kАL(х-хА)   7х+24у-107=0 – общее уравнение прямой (высоты) AL.   найдём уравнение высоты BH, как уравнение прямой, проходящей через точку B(xB; yB) в заданном угловым коэффициентом kBH направлении: у-уB=kBH(х-хB)   3х-4у-3=0 – общее уравнение прямой (высоты) BH. найдём уравнение высоты CK, как уравнение прямой, проходящей через точку _______ в заданном угловым коэффициентом ____ направлении:     ____________ – общее уравнение прямой (высоты) CK.  

 

в) Найдём длины высот:

I способ:

Нахождение расстояния от точки до прямой

Пусть заданы прямая l: Ах+Ву+С=0, и точка М(х0; у0), тогда расстояние d от точки М до прямой l находится по формуле:

 

найдём |AL|, как расстояние от точки A(5; 3) до прямой ВС: 24х-7у+201=0   найдём |BH|, как расстояние от точки B(-11; -9) до прямой AС: 4х+3у-29=0   найдём |CK|, как расстояние от точки C(-4; 15) до прямой AB: 3х-4у-3=0  

 

II способ:

Нахождение основания перпендикуляра, а затем вычисление длины высоты, как расстояния между двумя точками

Вычислим координаты точки L: L=ALÇВС Вычислим координаты точки Н: Н=BHÇАС Вычислим координаты точки К: K=CKÇАВ
    Итак, L( ; )        

Строим чертёж:

                                          y                      
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                                 
                                                        x
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       
                                                       

г) Найдём величины углов:

I способ:

Нахождение тангенса угла между прямыми заданными угловыми коэффициентами

угол j,на который надо повернуть в положительном направлении прямую l1вокруг точки их пересечения до совпадения с прямой l2 находится по формуле:

Найдём величину угла А:   Найдём величину угла В:   Найдём величину угла С:

 

II способ:

Нахождение косинуса угла между векторами (средствами векторной алгебры):

 

     

д) Найдём уравнения биссектрис:

 

Для определения уравнения биссектрисы угла воспользуемся уравнениями двух прямых, образовавших этот угол, А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2=0, тогда уравнения таких биссектрис имеют вид:

 

уравнения биссектрисы угла В АВ: 3х-4у-3=0 ВС: 24х-7у+201=0 Уравнения двух биссектрис угла В (внутреннего и внешнего) имеют вид:   Искомый угловой коэффициент должен удовлетворять неравенству: kBA<kBS<kBC, так как kBA=0,75, kBС=24/7, то kBS=13/9   и уравнение биссектрисы ВS имеет вид: 13х-9у+62=0.  

 

е) Найдём уравнения медиан:

медиана СМ, где М — середина АВ М( ; )  
Уравнение медианы СМ    

Задача 2.

Пусть точка А(-3; 2) - вершина квадрата ABCD, а его диагональ BD расположена на прямой х+3у-13=0. Найдите:

а) координаты вершин B, C и D;