Тренировочная работа 11 класс декабрь 2012

Вариант 1

B1.Магазин закупает цветочные горшки по оптовой цене 120 рублей за штуку и продает с наценкой 20%. Какое наибольшее число таких горшков можно купить в этом магазине на 1000 рублей?

В2. На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какого числа впервые выпало 5 миллиметров осадков.

B3.Точки O(0; 0), A(6; 8), B(6; 2) и C являются вершинами параллелограмма. Найдите ординату точки C.

В4.Строительной фирме нужно приобрести 40 кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Какова наименьшая стоимость такой покупки с доставкой (в рублях)? Цены и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик	Цена бруса (руб. за 1 м³)	Стоимость доставки	Дополнительные условия
A
Б			При заказе на сумму больше 150 000 руб. доставка бесплатно
В			При заказе на сумму больше 200 000 руб. доставка бесплатно

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней за указанный период температура была ровно .

B5.Решите уравнение . В ответе напишите наименьший положительный корень

B6.В треугольнике угол равен 90°, — высота, , . Найди .

B7.Найдите значение выражения при .

B8.Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

B9.Высота конуса равна 12, а диаметр основания – 10. Найдите образующую конуса.

B10.На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.

B11.Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки , , , прямоугольного параллелепипеда , у которого , , .

B12.Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где – время в секундах, амплитуда В, частота /с, фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

B13.Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту дольше, чем вторая труба?

B14.Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

C1.а) Решите уравнение .
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.Дана правильная четырехугольная пирамида Боковое ребро сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки до плоскости где — середина ребра

C3.Решите систему

C4.Основание равнобедренного треугольника равно 40, косинус угла при вершине равен . Две вершины прямоугольника лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Найдите площадь прямоугольника, если известно, что одна из его сторон вдвое больше другой.

C5.Найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

C6.Найдите все простые числа b, для каждого из которых существует такое целое число a, что дробь сократима на b.

Тренировочная работа 11 класс декабрь 2012

Вариант 2

В1. Среди 40000 жителей города 60% не интересуется футболом. Среди футбольных болельщиков 80% смотрело по телевизору финал Лиги чемпионов. Сколько жителей города смотрело этот матч по телевизору?

В2. На рисунке жирными точками показана цена нефти на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 17 по 31 августа 2004 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена барреля нефти в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену нефти на момент закрытия торгов в указанный период (в долларах США за баррель).

B3. Основания прямоугольной трапеции равны 12 и 4. Ее площадь равна 64. Найдите острый угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

B4.В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

Фирма такси	Подача машины	Продолжительность и стоимость минимальной поездки *	Стоимость 1 минуты сверх продолжительности минимальной поездки
А		Нет
Б	Бесплатно	20 мин. — 300 руб.
В		10 мин — 150 руб.

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

B5.Найдите корень уравнения: .

В6.В треугольнике , – высота, . Найдите

B7.Найдите значение выражения при .

B8.Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

B9.Найдите расстояние между вершинами и многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.

B10.В фирме такси в данный момент свободно 16 машин: 4 черных, 3 синих и 9 белых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет черное такси.

B12.Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где – масса груза (в кг), – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

B13.Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

B14.Найдите точку минимума функции .

C1.а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

C2.Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP, если точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.

C3.Решите систему неравенств

C4.Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 12, а косинус острого угла равен .

C5.Решите систему неравенств

C6.Перед каждым из чисел 14, 15, . . ., 20 и 4, 5, . . ., 8 прозвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую нибольшую сумму можно получить в итоге?

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ


В1	0.5	0.5	3.5	0.8		-6
В2		0.5		0.25	0.5


а) Решите уравнение . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, , откуда . б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку . Получим числа: ; ; . Ответ: а) ; б) ; ; . а) Решите уравнение б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку . Решение. а) Запишем уравнение в виде Значит, или , откуда , , или , откуда , . б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку . Получим числа: , и . Ответ: а) , ; , ; б) , и С2 1 С3. Решите систему Решение. Решим первое неравенство. Приведем второе слагаемое к основанию 5: Неравенство принимает вид Получаем: или Решим второе неравенство как квадратное относительно Получаем: или Следовательно, или Чтобы получить решение системы, найдем общую часть решений неравенств. Получим: , ; Ответ: , ; Решите систему неравенств Решение. Заметим, что по смыслу задачи , а значит, оба слагаемых в левой части первого неравенства положительны. Поскольку слагаемые взаимно обратные, их сумма не меньше двух. Тогда неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба слагаемых равны 1. Имеем: . Осталось проверить, является ли найденное решение первого неравенства решением второго неравенства. Выполним проверку: . Следовательно, число 5 является решением системы неравенств. Ответ: . С4 Ответ: 512 или 800. Ответ: 8 или 9.

С5 найдите все значения , при которых уравнение на промежутке имеет ровно два корня.

Решение.

Рассмотрим функции и Исследуем на промежутке

При все значения функции на промежутке неположительны, а все значения функции — положительны, поэтому при уравнение не имеет решений на промежутке

При функция возрастает на промежутке , Функция убывает на этом промежутке, поэтому уравнение всегда имеет ровно одно решение на промежутке , поскольку и

На промежутке уравнение принимает вид Это уравнение сводится к уравнению Будем считать, что , поскольку случай был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения поэтому при это уравнение не имеет корней; при уравнение имеет единственный корень, равный ; при уравнение имеет два корня.
Пусть уравнение имеет два корня, то есть Тогда оба корня меньше 4, поскольку при значения функции неположительны, а значения функции положительны. По теореме Виета сумма корней равна 3, а произведение равно Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку , а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда .
Таким образом, уравнение имеет следующее количество корней на промежутке :

1) Нет корней при
2) Один корень при
3) Два корня при и
4) Три корня при

Ответ: ;

Решите систему неравенств

Решение.

Рассмотрим второе неравенство. Оно имеет смысл при , т. е. при

Пусть Тогда неравенство принимает вид откуда или . При всех допустимых основание степени положительно и, следовательно, . Значит, неравенство выполняется только при .