Розв’язання. , складаємо
Вища математика * ТАВРІЙСЬКИЙ УНІВЕРСИТЕТ
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
Для індивідуальної роботи студентів очної форми навчання
З вищої математики
ФАКУЛЬТЕТ ІКТ
спеціальність «Машинобудування»
«Ряди»
Частина 1
Мелітополь
Розробила: ст. викл. Богаєвська Н.В.
Методичні вказівки розглянуті й схвалені на засіданні кафедри
протокол № 10 від 12.05. 2009 р.
Рецензент: Омеляненко В.О.
Рекомендовані до видання методичною Радою факультету ІКТ
протокол № ______ від «______»______ 200 р.
І ЧИСЛОВІ РЯДИ
Основні поняття та означення
Розглянемо нескінченну послідовність чисел 
Означення 1. Вираз вигляду 
називається числовим рядом.
Приклади: а) 
б) 
Означення 2. Числа 
називаються членами ряду, а вираз
- формулою загального члену ряду.
Означення 3. Сума n перших членів ряду називається n –ю частковою
сумою ряду.
Означення 4. Якщо існує границя часткової суми 
при 
, то ряд називається збіжним, а число 
- сумою ряду.
Приклад: Розглянемо геометричну прогресію
де 
- знаменник прогресії.
Розглянемо 3 випадки:
а) 
тоді 
і
Отже, ряд є збіжним, його сума 
.
б) 
тоді 
і 
- не існує.
Ряд розбігається.
в) 
і ряд є розбіжним;
тоді 
і
- не існує, ряд розбігається.
Таким чином, геометрична прогресія 
збігається,
якщо 
, і розбігається, якщо 
Означення 5. Різниця між сумою S збіжного ряду і його частковою сумою Sn називається залишком ряду.
Залишок ряду також є числовим рядом.
Деякі властивості збіжних рядів
1. Якщо ряд 
збігається і має суму S , то ряд
також збігається і має суму 
.
2. Збіжні ряди можна почленно додавати або віднімати, тобто, якщо
то 
3. Відкидання будь-якого скінченого числа членів ряду не впливає на його збіжність або розбіжність, тобто, якщо ряд 
є збіжним ( розбіжним), то його залишок 
також є збіжним ( розбіжним ).
Встановити збіжність ( розбіжність ) ряду шляхом визначення Sn і обчислення можливо далеко не завжди через принципові труднощі
знаходження Sn . Простіше це можна зробити на основі ознак збіжності.
Необхідна ознака збіжності числового ряду
Розглянемо числовий ряд
( 1 )
Теорема. Якщо ряд ( 1 ) збіжний, то границя його загального члена при 
дорівнює нулю, тобто 
Умова 
є тільки необхідною, але недостатньою умовою збіжності
ряду.
Наприклад, для гармонічного ряду 
, але можна
довести, що цей ряд є розбіжним.
Достатня умова розбіжності ряду
Якщо 
ряд ( 1 ) є розбіжним.
Приклад. Дослідити ряд 
на збіжність.
Розв’язання. Загальний член ряду 
Оскільки 
, то ряд є розбіжним.
Достатні ознаки збіжності
Ознаки порівняння.
Нехай маємо два ряди:
( 1 )
( 2 )
1) Якщо ряд ( 2 ) збігається, а члени ряду ( 1 ) не перевищують відповідних членів ряду ( 2 ), тобто 
то ряд ( 1 ) також збігається.
2) Якщо ряд ( 2 ) розбігається, а члени ряду ( 1 ) не менші за відповідні члени ряду ( 2 ), тобто 
, то ряд ( 1 ) також розбігається.
3) Якщо існує 
, то ряди ( 1 ) і ( 2 ) є одночасно збіжними або розбіжними.
У якості рядів порівняння найчастіше беруть такі ряди:
а) Геометрична прогресія:
збігається, якщо 
розбігається, якщо 
.
б) Узагальнений гармонічний ряд або ряд Діріхле:
збігається, якщо 
;
розбігається, якщо 
.
Приклади. Дослідити ряди на збіжність:
1) 
Розв’язання. Загальний член даного ряду
Ряд порівняння 
- геометрична прогресія.
Оскільки 
і ряд є збіжним 
, то даний ряд збігається.
2) 
Розв’язання. 
. Ряд порівняння 
- гармонічний ряд.
, оскільки 
і гармонічний ряд розбігається, то даний ряд є розбіжним.
3) 
Розв’язання. 
Ряд порівняння отримуємо, залишаючи в чисельнику і знаменнику загального члену лише найвищі степені n: 
.
Отже, ряд порівняння 
- це є збіжний ряд Діріхле, оскільки 
.
Знайдемо 
Оскільки ряд порівняння є збіжним, то даний ряд також збігається.
Завдання для самостійної роботи
І.Довести розбіжність рядів.
ІІ. Дослідити ряди на збіжність за допомогою ознак порівняння.
Ознака Даламбера
Розглянемо ряд з додатними членами:
( 1 )
Якщо існує границя 
, то:
1) ряд збігається, якщо l < 1;
2) ряд розбігається, якщо l >1;
3) якщо l = 1, то ознака не дає відповіді на питання про збіжність ряду (треба використати інші достатні ознаки збіжності).
Примітка. Якщо 
, то ряд ( 1 ) є розбіжним.
Приклади. Дослідити ряди на збіжність:
1) 
Розв’язання. , складаємо .
Знаходимо 
Отже, даний ряд є розбіжним.
2) 
Розв’язання. 
( за означенням 
).
Знаходимо: 
,
отже, ряд є збіжним.
( Невизначеність вигляду 
було розкрито за допомогою правила Лопіталя).
3) 
.
Розв’язання. 
Знаходимо: 
,
оскільки це є друга визначна границя.
, тому ряд є розбіжним.
Зауваження. Ознаку Даламбера доцільно застосовувати в тому випадку, коли загальний член ряду містить множники вигляду 
або 
.
Завдання для самостійної роботи
За допомогою ознаки Даламбера дослідити ряди на збіжність.
У прикладі 4: 
Радикальна ознака Коші