Векторы на плоскости и в пространстве
I. Векторы. Линейные операции над векторами.
Вектор – это направленный отрезок.
- начало вектора,
- конец вектора.
- вектор.
Координаты вектора: .
Модуль вектора или его длина на плоскости равна расстоянию между точками и
:
или
.
Для вектора с координатами
и
в пространстве модуль вектора или его длина вычисляется по формуле:
.
Нулевым вектором называется вектор, модуль которого равен нулю. У него возможно любое направление в пространстве.
Радиус-вектором точки на плоскости называется вектор
, у которого начало совпадает с началом координат
. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами его конца:
. Модуль радиус-вектора или его длина:
.
Векторы можно складывать, вычитать, а также умножать вектор на число.
1. Вектор с координатами , называется противоположным вектору
и обозначается
.
2. Суммой двух векторов и
на плоскости называется вектор, определяемый равенством:
.
Изображается диагональю параллелограмма, построенного на векторах и
с общим началом.
3. Суммой двух векторов и
в пространстве называется вектор, определяемый равенством:
.
4. Сложить два вектора и
можно двумя способами: по правилу треугольника и по правилу параллелограмма.
5. Разностью двух векторов и
на плоскости называется сумма вектора
с вектором, противоположным вектору
. Координаты разности двух векторов находятся по правилу:
.
Свойства сложения векторов:
1. .
2. .
3. .
4. .
Произведением вектора на число
называется вектор
. Это вектор, модуль которого в
раз больше вектора
, а направление совпадает с вектором
, если
, и противоположно
, если
.
Для данного вектора
построим векторы
и
:
Свойства умножения вектора на число:
1. ,
.
2. .
3. .
II. Скалярное произведение векторов
|
Скалярным произведением двух векторов
и
называется произведение их модулей на косинус угла между ними:
,
где - угол между векторами
и
.
Свойства скалярного произведения:
1. .
2. , если
, либо
, либо
.
3. (коммутативность).
4. (дистрибутивность).
5. .
6. Скалярные произведения осей координат: ,
,
,
.
7. Необходимое и достаточное (НИД) условие перпендикулярности двух векторов выражается равенством:
.
Скалярное произведение векторов и
на плоскости может быть записано через координаты этих векторов:
.
Косинус угла между векторами и
на плоскости вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение векторов и
в пространстве может быть записано через координаты этих векторов:
.
Косинус угла между векторами и
в пространстве вычисляется по формуле:
.
III. Коллинеарные и компланарные векторы.
Векторы параллельны между собой (коллинеарные). При этом один вектор выражается через другой.
У коллинеарных векторов соответствующие координаты пропорциональны. Т.е. если два вектора на плоскости и
- коллинеарные, то
.
Аналогично, если два вектора в пространстве и
- коллинеарные, то
.
Векторы и
называются линейно зависимыми, если
(существуют) числа
,
, одновременно не равные нулю, т.ч.
, т.е. если
ненулевая линейная комбинация векторов, обращающаяся в ноль. Если равенство возможно только при
, то векторы
и
называются линейно независимыми.
Два линейно зависимых вектора коллинеарные.
Три линейно зависимых вектора лежат в одной плоскости (или параллельны одной плоскости).
Векторы, лежащие в одной плоскости, называются компланарными.
Если векторы и
линейно независимы, то любой вектор
, компланарный с
и
, может быть единственным образом разложен по этим векторам:
,
где ,
- некоторые числа.
Если три вектора линейно независимы (т.е. не являются компланарными), то любой вектор
может быть единственным образом разложен по этим векторам:
,
где ,
,
- некоторые числа.
IV. Уравнение окружности.
Уравнение окружности с центром в точке и радиусом
:
.
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом
:
.
V. Уравнение сферы.
Уравнение сферы с центром в точке
и радиусом
:
.
Уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом
:
.
Стереометрия.
Принятые обозначения: - сторона основания правильного многогранника,
- число сторон основания,
- боковое ребро,
- высота,
- периметр основания,
,
,
- площади основания, боковой и полной поверхности многогранника;
- объём.