Метод возможных перемещений

Структурный анализ механизма

1. Пронумеруем звенья механизма на рисунке

Рис.2. Схема механизма

2. Определим число подвижных звеньев. Данный механизм (рис.2) является плоским, так как его звенья двигаются в параллельных плоскостях, поэтому расчет ведется по формуле:

Где - число подвижных звеньев, - число низших кинематических пар, – число высших кинематических пар.

Тогда число подвижных звеньев . Значит, необходим один двигатель – он будет вращать первое звено с угловой частотой .

3. Построим граф механизма и выделим структурные группы (рис.3.).

Рис.3. Граф механизма

4. В программе «КОМПАС» создадим чертеж механизма с учетом длин звеньев и расстояний между узлами (рис.4).

Рис.4. Параметризация механизма в программе «КОМПАС»

5. План 12-ти положений (рис.5.)

Рис.5. План 12-ти положений

Геометрический анализ

1. Для построения уравниния геометрического анализа сделаем разрывы в графе и выделим контура (рис.6).

Рис.6. Разрыв графа механизма

2. Обозначим углы поворота у звеньев 2, 3 и 4 соответственно как , и (рис.7).

Рис.7. Схема механизма для составления уравнений геометрического анализа

3. Согласно построенному графу составим и решим две системы уравнения

Система №1

Возведем оба уравнения в квадрат

Сложим уравнения, учитывая, что

Используя формулы приведения, получаем:

Пусть

Синус положительный, так как угол лежит в первой четверти.

Найдем :

Так как

Решим эту систему методом Крамера:

Внесем результаты в MathCad:

И найдем углы и

Система №2

Решим вторую систему уравнений:

Запишем решение в MathCAD.

Найдем угол :

Используя найденные значения запишем также

(а) (б)

(в) (г)

(д)

Рис.8. Графики зависимости

Рис.9. График зависимости

4. Выполним проверку по входной координате.

Пусть .

Результаты в программе «КОМПАС» совпадают с результатами в программе Mathcad.

Рис.10. Проверка механизма по выходной координате при

Кинематический анализ

1. В случае, когда неизвестна зависимость вместо терминов «скорость» и «ускорение» используют «аналоги скорости и ускорения»:

где – аналог скорости, который равен .

Аналогично для «аналога ускорения»:

где – аналог ускорения, который равен .

2. Для вывода аналогов скорости продифференцируем по системы №1 и №2.

Система 1:

Возмем производную по .

Решим систему методом Крамера: (f3_1= , f2_1= )

Продифференцируем систему второй раз:

Также решим эту систему методом Крамера: (f3_2= , f2_2= )

Система №2

Делаем аналогичные преобразования.

Возьмем производную по .

Возьмем вторую производную:

3. Строим графики зависимостей

Pис.11. Графики зависимости аналогов скоростей

(a) (б)

(д) (е)

(ж) (з)

Рис.12. Графики зависимостей аналогов скоростей и ускорений

Силовой анализ

1. Определим крайние точки положения механизма – крайние положения выходной координаты или точки экстремума зависимости . Строим график зависимости производной Y_C’(q) (рис.13)и примерные значения , где производная равна нулю, и ищем уже точные значение.

Рис.13. График зависимости Y_C’(q)

2. Строим положение звеньев механизма при углах и и траекторию движения точки А (рис.14). Два крайних положения механизма делят окружность траектории точки A на два сектора:

· сектор с большим углом определяет рабочий ход механизма

· сектор с меньшим углом определяет холостой ход механизма

Рис.14. Положение механизма в крайних точках. Определение рабочего и холостого хода механизма.

3. Построим график зависимости приложенной нагрузки на выходное звено. Пусть приложенная нагрузка на выходное звено на рабочем ходу , а на холостом ходу :

Должны выполняться условия:

· – рабочая нагрузка всегда больше нагрузки на холостом ходу

· , по закону сохранения механической энергии

· Знак приложенной нагрузки противоположен знаку производной на данном участке.

Согласно чертежу в программе «КОМПАС», должно выполняться условие:

Статистический анализ

1. Решим задачу статического анализа графическим способом, т.е. определим реакции в опорах без учета масс.

Выберем на рабочем ходу (рис.15).

Рассмотрим отдельно каждое звено, начиная с выходного звена, и определим реакции, действующие на него.

Рис.15. Графики зависимости P(q) и Yc’(q).

Рис.16. Схема механизма при

2. Рассмотрим звено 5: на звено 5 действует приложенная нагрузка P, а также возникают реакции со стороны закрепления и со стороны звена 4. На основании этого можно записать: =0

Рис.17. Звено 5

Определим направление величины неизвестных реакций графическим способом в программе «КОМПАС»:

Рис.18. Определение реакций звена 5.

Тогда для пятого звена:

Рис.19. Звено 5.

3. Рассмотрим звено 4: на звено 4 действует реакция со стороны звена 5 – равная по величине реакции и противоположная по направлению, и реакция со стороны звена 2 - ,равная по величине и противоположная по направлению.

Рис.20. Звено 4

4. Рассмотрим звено 2: на звено действует реакция со стороны звена 4 - , реакция со стороны звена 1 - и реакция со строоны звена 3 - . Линия действия параллельна AВ, , а . Тогда

Рис.21. Звено 2.

Отсюда можно найти линию взаимодействия и в «Компасе» соблюдая длины отрезков найти величину реакции.

Получаем:

;

5. Рассмотрим звено 3: на звено 3 действует реакция со стороны звена 2 – равная по величине реакции и противоположная по направлению, и реакция со стороны звена 0 - .

Рис.22. Звено 3.

Отсюда получаем: = = 8,7 Н.

6. Рассмотрим звено 1: на него действует реакция со стороны звена 2 - , равная по величине и противоположная по направлению и реакция со стороны закрепления - , равная по величине и противоположная по направлению, а также движущий момент Q.

Рис.23. Звено 1.

, где h – расстояние между векторами и , которое определяем в «КОМПАСЕ»: h=85,95 мм.

Рис.25. Определение реакций звена 1.

Тогда движущий момент

Кинетостатический анализ

Кинетостатический анализ с учетом масс проведем двумя методами:

1) Погруппным методом (определим движущий момент и реакции в опорах R)

2) Методом возмодных перепещений (определим движущий момент Q)

Для кинетостатического анализа с учетом масс учитывают силы инерции, силы тяжести и моменты сил инерции. Силы инерции представляют как , где m (кг)- масса звена, а w – ускорение звена, равное , k (м) – координата цетра-масс, (рад/с) – скорость вращения. Моменты сил инерции представляют как (Н*м), где - угловое ускорение, равное , - угол поаорота звена (рад); - осевой момент инерции, равный , где - длина звена (м). Силы тяжести представляют как , где - ускорение свободного падения.

Массу ползунов принимаем 30 кг, а стержней , где - погонная масса, а - длина стержня (м).

Погруппный метод

На схеме механизма (рис.26.) изобразим все силы инерции, силы тяжести и момент силы инерции для всех звеньев механизма.

Рис.26. Схема механизма с силами инерции и моментами сил инерций.

Силы инерции и силы тяжести приложенны в точках центр-масс звеньев. Для ползунов центр-масс расположен в середине ползуна, а для стержней – на середине длины стержня.

Определим законы движения центров-масс обоих звеньев:

Запишем выражения сил инерции, сил тяжести и моментов сил инерции:

Учитывая, что и , моменты сил инерции можно записать как:

Рассмотрим отдельно структурные группы механизма. Отрываем структурную группу механизма и в местах отрыва действие других звеньев заменяем реакциями опор.
Структурная группа 4-5:

Рис.27. Структурная группа 4-5.

Запишем уравнения равновесия для плоской системы (момент берем относительно точки B).

Решаем систему уравнений равновесия и находим неизвестные реакции опор , , .

Структурная группа 3-2.

Рис.28. Структурная группа 3-2.

Запишем уравнение равновесия для плоской системы (данная структурная группа представляет собой группу VV, уравнение равновеся для моментов которой записываются для точки В относительно двух точек, сначала относительно A, а потом оттносительно точки ):

В данной системе реакции и равны и противоположно направленны реакциям и соответственно:

Приведем систему к виду для решения методом Крамера и выразим неизвестные реакции опор , составив матрицы коэффициентов системы:

Структурная группа 1-0.

Рис.29. Структурная группа 1-0.

Запишем уравнения равновесия для плоской системы (момент берем относительно точки ).

В данной системе реакции и равны и противоположно направленны реакциям и соответственно:

Решаем систему и находим неизвестные реакци опор и , а также движущий момент Q:

В программе MathCAD строим график зависимости Q(q) (Н*м) и получаем закон распределения движущего момента в зависимости от q.

Рис.30. Зависимость движущего момента Q(q), полученного погруппным методом.

Метод возможных перемещений

Метод возможных перемещений используется как проверка погруппного метода.

Метод заключается в том, что малая работа всех активных сил на возможном перемещении равна нулю.

, где равна сумме произведений всех активных сил звеньев на их возможные перемещения.

Для механизма работа активных сил равна:

В программе MathCAD строим график зависимости Q1(q)(Н*м) (рис.31) и получаем закон распределения движущегося момента в зависимости от q.

Рис.31. Зависимость движущего момента Q1(q), полученного методом возможных перемещений.

Для проверки кинетостатического анализа наложим графики зависимости движущегося момента Q(q), и полученного в методе возможных перемещений и погруппным методом (рис.32).

Рис.32. Проверка кинестетического анализа.

Как видно из рис.32 графики зависимости движущегося момента для двух методов кинетостатического анализа совпали, поэтому можно говорить о правильности анализа механизма насоса.

Вывод

В данной работе был проведен анализ механизма пресса различными методами. Мы проанализировали работу механизма без учета масс – геометрический, кинематический и графический анализы, и с учетом действующих на пресс сил в погруппном анализе и методом возможных перемещений. В последних случаях мы получили зависимости движущего момента Q в зависимости от частоты оборота двигателя. Для разных методов эти результаты совпали.