Средняя гармоническая. Критерий выбора формы средней

В ряде случаев исходные данные и смысл производимых расчётов приводят к необходимости вычисления средней гармонической, которая может быть простой и взвешенной.

Простая средняя гармоническая имеет вид:

.

Средняя гармоническая взвешенная вычисляется по формуле:

.

Решая задачи по этой теме, необходимо, прежде всего, научиться правильно выбирать в каждом конкретном случае формулу средней величины. При выборе средней (арифметической или гармонической) следует исходить из экономического содержания усредняемого показателя. Первый этап вычисления средней – это запись исходного соотношения средней или ее логической формулы. Логическая формула вытекает из сущности средней. Средняя величина признака – это отношение. Поэтому прежде чем оперировать цифрами, нужно выяснить, соотношением каких показателей является средняя в данном конкретном случае. Это исходное соотношение необходимо записать словами в виде формулы (слайды):

Средняя выработка продукции на одного рабочего:

Средний процент рабочих, перевыполняющих нормы выработки:

Средняя заработная плата:

Средний размер вклада в банке:

Средний процент выполнения плана:

Средний процент брака:

Средняя урожайность:

Если исходное соотношение записано правильно, то выбор формулы средней определяется характером исходных данных.

Если известны слагаемые знаменателя исходного соотношения, а слагаемые числителя можно определить как произведение двух известных показателей, то применяют среднюю арифметическую взвешенную:

.

Если известны слагаемые числителя исходного соотношения, а слагаемые знаменателя можно определить как частное от деления одного известного показателя на другой, то применяют среднюю гармоническую взвешенную:

Если известны и слагаемые знаменателя и слагаемые числителя исходного соотношения, то средняя вычисляется в явном виде:

.

Пример (слайд) – Имеются следующие данные по цехам предприятия за январь и февраль:

Цех Январь Февраль
Средняя заработная плата рабочих, ден. ед. Число рабочих Средняя заработная плата рабочих, у.е. Фонд заработной платы рабочих, ден. ед.

Определите среднюю заработную плату за январь и февраль в целом.

Решение. Запишем исходное соотношение средней:

По исходным данным за январь месяц известны слагаемые знаменателя исходного соотношения, а слагаемые числителя можно определить как произведение двух известных показателей, следовательно применим среднюю арифметическую взвешенную:

ден. ед.

По исходным данным за февраль месяц известны слагаемые числителя исходного соотношения, а слагаемые знаменателя можно определить как частное от деления одного известного показателя на другой, таким образом применим среднюю гармоническую взвешенную:

ден. ед.

Итак, при расчете одного и того же показателя – среднего размера заработной платы в целом по совокупности – в первом случае (январь) использовалась средняя арифметическая взвешенная, во втором (февраль) – средняя гармоническая взвешенная. Это обусловлено, прежде всего, одной и той же логической формулой для вычисления искомого показателя, но вместе с тем различными исходными данными, которые были представлены в таблице.

При решении задач необходимо писать формулы средних, указывать, что является вариантами, а что – весами в каждой задаче.

Структурные средние

Для характеристики структуры вариационных рядов применяются показатели особого рода, которые называют структурными средними.

Мода (Мо) – это значение варьирующего признака, наиболее часто встречающиеся в данном ряду. Модой, или иначе, модальной величиной признака в дискретном ряду является вариант, имеющий наибольшую частоту (или частость).

Медиана (Ме) – это численное значение признака у той единицы изучаемой совокупности, которая находится в середине ранжированного ряда. Медиана делит совокупность на две равные части. Одна часть единиц совокупности имеет значение варьирующего признака меньше, чем медиана, другая – большее.

При определении моды и медианы по данным интервального вариационного ряда применяют специальные формулы:

,

где – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

– величина модального интервала;

, , – частота модального, до и после модального интервалов, соответственно.

,

где – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

– величина медианного интервала;

– сумма накопленных частот до медианного интервала;

– частота медианного интервала.

После расчета медианы и моды необходимо пояснить их экономический смысл.

Определим моду и медиану для конкретного примера.

Таблица – Распределение рабочих коммерческой организации

По заработной плате

Группы рабочих по размеру месячной заработной платы, ден. ед. Число рабочих Накопленные частоты
до 120
120–130
130–140
140–150
150 и более
Итого -

 

ден. ед.

Следовательно, наиболее распространенной заработной платой является 136,7 ден. ед.

ден. ед.

Полученный результат говорит, что из 150 рабочих половина имеют заработную плату меньше 137 ден. ед., а половина больше.

Наряду с модой и медианой для более полной характеристики структуры совокупности применяют квартили и децили.

Квартили делят интервал на 4 равные части (3), децили – на 10(9).

; .