РАЗЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ ПО СИСТЕМАМ
ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Бесконечную систему функций 
называют ортогональной на отрезке 
, если выполняются равенства
причем n=0, 1, 2,...и k=0, 1,2, ...
Первое из равенств означает попарную ортогональность функций системы, второе – то, что никакая из функций не равна тождественно нулю.
Величина 
называется нормойфункции 
Если все 
, система функций является ортонормированной.
Простейшем примером системы, ортогональной на любом отрезке длиной 
может служить совокупность тригонометрических функций кратных аргументов
и 
, при k=0,1,2,…. (3)
Заданное (аналитически или графически) колебание 
можно
разложить в ряд
по упорядоченной системе ортогональных функций , если возможно подобрать такую совокупность постоянных коэффициентов 
, что разность между f(t )и суммой конечного числа членов ряда
будет достаточна, мала. Предполагается, что область задания колебания f(t ) находится внутри отрезка ортогональности .
Одним из возможных критериев качества разложения (сходимости) является интегральная (усредненная) оценка квадрата этой разности:
Если при увеличении количества N суммируемых членов ряда 
монотонно убывает и может быть сделана сколь угодно малой, то систему ортогональных функций 
считают полной, а ряд (4) называют сходящимся в среднем к функции f(t). При такой сходимости функция 
аппроксимирующая заданную f(t) 
, может кратковременно значительно отклоняться от f(t) 
, и существенным является лишь интегральный эффект. Кстати, для большинства задач электротехники вполне достаточно сходимости со средним, которая всегда имеет место для колебаний конечной энергии.
Для определения значений коэффициентов , обеспечивающих минимальную величину , приравняем к нулю частные производные по этим коэффициентам
и получим систему из N уравнений, так как n=1, 2,…N. Осуществив преобразования каждого уравнения этой системы с учётом свойства ортогональности (2), установим, что
Ряд (4), в котором коэффициенты определены по формуле (6) , называют обобщенным рядом Фурье по системе функций . Поскольку при этом 
, из выражения (5) можно получить важную "энергетическую" оценку для функций f(t)с интегрируемым квадратом
которую называют неравенством Бесселя. Равенство здесь имеет место в пределе (при 
), если система функций полна.
Важной задачей математического анализа является выяснение условий, когда обобщенный ряд Фурье сходится к f(t) в обычном
смысле, т.е. поточечно:
В частности, при использовании ортогональной системы тригонометрических функций ответ на этот вопрос дает теорема Дирихле.
Пусть f(t) в пределах отрезка 
ограниченной длины удовлетворяет так называемым условиям Дирихле:
-Отрезок можно разбить на конечное число частей так, что внутри каждой части f(t) монотонна и непрерывна;
-Во всех точках нарушения непрерывности существуют пределы слева 
и справа
Тогда ряд (4) сходится и имеет место равенство:
Следовательно, во всех точках непрерывности выражение (4) переходит в точное равенство.
Теперь возможен иной способ получения формулы (6). Умножим обе части выражения (4) на С (t) 
и произведем интегрирование:
В силу свойств ортогональности, в правой части останется только одно
Слагаемое 
. Откуда следует (6).
Если функциюf(t) продолжить на всю осьпериодически с периодом Т=t1– t2, то утверждение теоремы Дирихле будет справедливо для всех 
.
Как правило, функцииf(t), описывающие реальные колебания, которые встречаются в электротехнике и электронной технике, удовлетворяют условиям Дирихле, и специальных исследований не требуется.
Выбор наиболее рациональной ортогональной системы функций зависит от цели, преследуемой при разложении сложной функции в ряд. В задачах аппроксимации колебаний основным требованием является обеспечение наиболее быстрой сходимости ряда, т.е.наименьшего числа N членов рада (при заданной допустимой погрешности). Применяются разнообразные ортогональные системы функции: полиномы Чебышева, Эрмита, Лежандра, функции Бесселя и другие.
Однако часто решающими при выборе система функции являются простота физического воспроизведения (генерирования) этих функций и удобство последующего использования их при решении других задач. Этим требованиям удовлетворяет система основных тригонометрических (гармонических) функций. Поэтому гармонический анализ получил широкое распространение во всех отраслях современней науки к техники.