Задания для самостоятельного решения

Пояснения к работе.

Математическая статистка изучает методы обработки статистических данных. Под статистическими данными понимают совокупность чисел, полученных в результате опытов, наблюдений, опросов и т.д., количественно характеризующих какой-либо признак (признаки) изучаемых объектов. Множество числовых значений этого признака для всех объектов изучаемой совокупности называют генеральной совокупностью.Выборочной совокупностью ( выборкой) называют множество числовых значений признака группы объектов, случайным образом отобранных из всей совокупности рассматриваемых объектов.

Наблюдаемые числовые значения признака называют вариантами. Пусть в выборке, содержащей n элементов, встречаются k разных значений (вариант) некоторого признака: х₁, х₂,…х_к. Количество раз, которое в результате проведения исследований наблюдалась каждая из вариантов, соответственно обозначим n₁, n₂, …n_k. Очевидно, что

 

n= n₁+n₂+…+n_k.

числа n₁, n₂, …n_k называют частотами, а отношения ; … - относительными частотами или частостями вариант.

Перечень вариант выборки с указанием соответствующих им частот называется статистическим распределением выборки.

Полигоном частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (х_i, n_i).

Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (x_i,w_i). В случае, когда статистическое распределение выборки задано в виде интервалов значений вариант и их частот, геометрическое представление о характере выборки можно получить с помощью гистограмм. Гистограммой частот называют фигуру, состоящую из прямоугольников длиной h, равной величине интервала частот, и высотой . Если в качестве высоты прямоугольников рассматривать отношение , получим гистограмму относительных частот.

 

 

Числовыми характеристиками выборки являются выборочная средняя и выборочная дисперсия.

Рассмотрим выборку, имеющую следующее статистическое распределение:

 

xi	x1	x2	…	xk
ni	n1	n2	…	nk

 

Выборочной средней данной выборки назовём среднее арифметическое всех значений x_i:

Аналогичным образом для генеральной совокупности со следующим статистическим распределением:

 

xi	x1	x2	…	xk
Ni	N1	N2	…	Nk

 

определяется генеральная средняя:

Выборная дисперсия Д_в вычисляется по формуле:

 

Аналогично определяется генеральная дисперсия Д_r:

 

Решение типовых задач.

 

Имеется выборка, содержащая 100 числовых значений некоторого признака

 

 

По приведённым данным требуется:

а) сгруппировать варианты значений признака по нескольким интервалам и получить таблицу статистического распределения выборки;

б) построить гистограмму частот;

в) считая x_i равными значению середины каждого интервала, построить полигон частот, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

 

Решение:

а) Разобьём возможные значения признака на 7 интервалов с шагом h=10, определим для каждого интервала его середину x_i и количество n_i, попадающих в него вариант.

Результаты запишем в следующую таблицу:

 

Интервал	(10;20)	(20;30)	(30;40)	(40;50)	(50;60)	(60;70)	(70;80)
xi
ni

 

б) По данным, полученным в пункте а, построим гистограмму и полигон частот.

 

 

в) Найдём выборочную среднюю и выборочную дисперсию: = 43,5

 

( 9 (15-43,5)²+14 (25-43,5)²+17 (35-43,5)²+28 (45-43,5)²+ +14 (55-43,5)²+11 (65-43,5)²+7 (75-43,5)² )=

 

Задания для самостоятельного решения.

№1. Выборка задана своим статистическим распределением. Постройте полигон частот и полигон относительных частот, найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

 

а)

xi
ni

 

 

б)

xi
ni

 

 

№2. Имеется выборка, содержащая 50 числовых значений некоторого признака. По приведённым данным требуется:

а) сгруппировать варианты значений признака по нескольким интервалам и получить таблицу статистического распределения выборки;

б) построить гистограмму частот;

в) считая x_i равными значению середины каждого интервала, построить полигон частот, найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.

а)

 

б)

 

в)