А) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума
Экстремумы функции
Определение 1. Точка называется точкой максимума [точкой минимума] функции
, если существует такая
- окрестность
точки
, что для всех значений
из этой окрестности выполняется неравенство
.
Определение 2. Значение функции в точке максимума (точке минимума) называетсямаксимумом (минимумом) функции .
Определение 3. Точки минимума и точки максимума называются точками экстремумафункции , а значения функции в этих точках — экстремумами функции
.
Теорема 1. Если функция непрерывна в точке
, а
на промежутке
и
на промежутке
, то
является точкой максимума функции
.
Теорема 2. Если функция непрерывна в точке
, а
на промежутке
и
на промежутке
, то
— точка минимума функции
.
Теорема 3 (Ферма).Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
и дифференцируема в этой точке. Если
— точка экстремума функции
, то
.
Теорема 4. Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки
, кроме, быть может, самой точки
, и непрерывна в точке
. Тогда, если
меняет знак с «
» на «
» (с «
» на «
») при переходе через точку
, то
— точка минимума (точка максимума) функции
.
Экстремум функции
Необходимое условие экстремума
Функция g(x) в точке имеет экстремум(максимум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки и для всех точек x некоторой области: , выполнено соответственно неравенство
В случае максимума) или (в случае минимума).
Экстремум функции находиться из условия: , если производная существует, т.е. приравниваем первую производную функции к нулю.
Достаточное условие экстремума
1) Первое достаточное условие:
Если:
А) f(x) непрерывная функция и определена в некоторой окрестности точки такой, что первая производная в данной точке равна нулю или не существует.
Б) f(x) имеет конечную производную в окрестности задания и непрерывности функции
в) производная сохраняет определенный знак справа от точки и слева от этой же точки, тогда точку
можно охарактеризовать следующим образом
Это условие не очень удобное, так как нужно проверять множество условий и запоминать таблицу, однако если ничего не сказано о производных высших порядках, то это единственный способ найти экстремум функции.
2) Второе достаточное условие
Если функция g(x) обладает второй производной причем в некоторой точке первая производная равна нулю, а вторая производная отлично от нуля. Тогда точка экстремум функцииg(x), причем если , то точка является максимумом; если , то точка является минимумом.
3) Третье достаточное условие
Пусть функция g(x) имеет в некоторой окрестности точки N производных, причем значение первых (N - 1)- ой и самой функции в этой точке равно нулю, а значение N-ой производной отлично от нуля. В таком случае:
а) Если N - четно, то точка экстремум функции: у функции точка максимума, у функции точка минимума.