Классическое определение вероятности. Свойства вероятности
Статистическое определение вероятности. Свойства частоты.
Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Вероятность события равна отношению числа благоприятных событию
исходов опыта к общему числу исходов опыта.
, где
- число благоприятных исходов опыта;
- общее число исходов опыта.
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,
Р(А) = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.
3. Аксиоматическое определение вероятности. Свойства вероятности.
вероятность задается как числовая функция Р(А) на множестве всех событий, определяемых данным экспериментом, которая удовлетворяет следующим аксиомам:
1. .
2. P(A)=1, если А - достоверное событие.
3. , если А и В несовместны.
сновные свойства вероятности
1. Для каждого случайного события А определена его вероятность, причем .
2. Для достоверного события U имеет место равенство P(U)=1.
Свойства 1 и 2 следуют из определения вероятности.
3. Если события А и В несовместны, то вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей. Это свойство носит названиеформулы сложения вероятностей в частном случае (для несовместных событий).
4. Для произвольных событий А и В
.
Это свойство носит название формулы сложения вероятностей в общем случае.
5. Для противоположных событий А и имеет место равенство
.
4. Условная вероятность.Теорема об условной вероятности.
Условная вероятность — вероятность одного события при условии, что другое событие уже произошло.
Условной вероятностью события при условии, что произошло событие
, называется число
Условная вероятность определена только в случае, когда .
Это определение бывает полезно использовать не для вычисления условной вероятности, а для последовательного вычисления вероятности нескольким событиям случиться одновременно, если известны соответствующие условные вероятности. А именно, справедливы следующие «теоремы умножения вероятностей».
Теорема 6.Если и
, то
Теорема 7.Для любых событий верно равенство:
если все участвующие в нём условные вероятности определены.
5. Критерии независимости случайных событий.
6. Теорема о независимости событий и противоположных им.
7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:
(3.1)
где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условии реализации этой гипотезы.
Для переоценки вероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:
8. Формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, в какой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равно-вероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых к испытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равно числу сочетаний из п по к, то есть , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p – вероятность того, что в данном опыте А не произошло. Применяя теорему сложения для несовместных событий, получим формулу Бернулли:
.
9. Формула Пуассона. Локальная формула Муавра – Лапласа. Интегральная формула Муавра – Лапласа.
Формула Пуассона:
Если число испытаний n в схеме независимых испытаний Бернулли стремится к бесконечности и так, что
,
, то при любых
Это означает, что при больших n и малых p вместо громоздких вычислений по точной формуле можно воспользоваться приближенной формулой
, т.е. использовать формулу Пуассона для l = np.
Локальная теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0< p <1 и величина при n ®
ограничена. Тогда
.
На практике приближением Муавра-Лапласа пользуются при npq > 9.
Точность формулы растет, как с ростом величин n и k, так и по мере приближения величин p и q к 0.5.
Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Пусть 0< p <1, тогда для схемы Бернулли при n ® для любых a и b справедлива формула
.
Отсюда, в частности, следует, что для вычисления вероятности того, что число успехов в nиспытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
,
где ,
,
- функция Лапласа.
Точность этой приближенной формулы растет с ростом n.
Если npq сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула
и для вычисления вероятности того, что число успехов в n испытаниях Бернулли заключено между k1 и k2, можно использовать формулу
, где
,
.