Производящая функция от стационарного распределения длины очереди

Двухуровневое управление потоком заданий в серверной системе

 

 
 

 


Рис. 1 Зависимость интенсивности потока ответов сервераμот числа ожидающих обработки или обрабатываемых в данный момент запросов n при гистерезисном управлении

 

Для гистерезисного управления работа системы определяется параметрами и , притом ,, - интенсивность потока запросов, и - интенсивности потока ответов сервера для двух режимов работы.

Отличие от системы с одноуровневым управлением заключается в том, что переход между режимами работы серверной системы происходит, когда количество запросов к серверу, ожидающих обработки либо обрабатываемых в данный момент (длина очереди), достигает значения L2. Обратный переход в режим работы без кеширования происходит, когда длина очереди уменьшается до значения L1.

Пусть , , тогда , .

Состояния системы определяются числом находящихся в системе запросов (длина очереди) и режимом работы (с кешированием или без кеширования).

Для состояний, соответствующих работе с первым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , где поставим в соответствие число .

Для состояний, соответствующих работе со вторым сервером, каждому состоянию с длиной очереди при , поставим в соответствие число .

Далее изображен граф цепи Маркова, который описывает число запросов N(t), находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент) в момент времени t. Вершинам графа соответствуют стационарные вероятности нахождения процесса N(t) в конкретном состоянии, пронумерованные в соответствии с нумерацией состояний системы, а дугам — интенсивности переходов между состояниями.

 

 

 
 

 

 


Рис. 2 Граф, описывающий переходы между состояниями процесса N(t) с различной длиной очереди при использовании гистерезисного управления

 

Определение показателей качества функционирования серверной системы с двухуровневым управлением потоком заданий

 

Соотношения для стационарных вероятностей введенных состояний получены по аналогии с одноуровневым управлением.

Стационарная вероятность вычисляется из условия

 

(1)

 

которое после подстановки выражений для можно свести к следующему виду

 

  (2)

Формулы для стационарного распределения числа находящихся в системе запросов (длины очереди) получаются, исходя из соотношений

 

  (3)

и имеют следующий вид:

 

(4)

 

 

Производящая функция от стационарного распределения длины очереди

 

(5)

 

где

(6)

 

Средняя длина очереди, т.е. среднее количество запросов к серверу, находящихся в системе (ожидающих обработки, либо обрабатываемых в данный момент)

 

(7)

 

Поскольку из всех находящихся в системе запросов в любой момент времени t один и только один запрос находится на обработке, то для любого число ожидающих обработки запросов связано с количеством всех находящихся в системе запросов следующим соотношением:

 

  (8)

Следовательно, производящая функция стационарного распределения числа запросов, ожидающих обработки связана с найденными ранее производящими функциями и соотношением

 

  (9)

Таким образом,

 

(10)

 

среднее число ожидающих обработки запросов

 

  (11)

Связь между средним временем ответа и средним числом находящихся в системе запросов задает одна из формул Литтла: . Аналогичным соотношением связаны между собой среднее время ожидания и среднее число ожидающих обработки запросов: Длительность обслуживания позволяет вычислить следующее соотношение:

 

Время ответа (T) = время ожидания (W) + длительность обслуживания (S).

 

Среднее время простаивания в очереди при гистерезисном управлении:

 

(12)

среднее время обслуживания при гистерезисном управлении:

 

  (13)

где ,