Сформулировать основные правила дифференцирования и доказать одно из этих правил

При дифференцировании константу можно выносить за производную: .

Правило дифференцирования суммы функций: .

Правило дифференцирования разности функций: .

Правило дифференцирования произведения функций (правило Лейбница): .

Правило дифференцирования частного функций: .

Правило дифференцирования функции в степени другой функции: .

Правило дифференцирования сложной функции: .

Правило логарифма при дифференцировании функции: .

Доказательство первого правила:

Докажем формулу . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому .

Билет 28.

Применяя теорему о дифференцировании обратной функции, найти производную функции .

Пусть функция y = f(x) взаимно однозначна в интервале (a, b), содержащем точку x₀. Пусть в точке x₀ она имеет конечную и отличную от нуля производную f '(x₀). Тогда обратная функция x = g(y) также имеет производную в соответствующей точке y₀ = f(x₀), причем .

Для обратной функцией является , тогда по теореме о дифференцировании обратной функции получаем (sin²x+cos²x=1 → cos²x=1-sin²x) =

= {cosx=V ̄1-sin²x, xϵ(-π/2; π/2} = 1/V ̄1-sin²x = {x=arcsiny} = 1/V ̄1-sin²(arcsiny) = {sin(arcsiny)=a} = 1/V ̄1-y². Итак (arcsiny)’ = 1/V ̄1-y².

Переобозначим независимую переменную y через x и получим arcsinx = 1/V ̄1-x².

Билет 30.

Доказать теорему Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a). Рассмотрим функцию y=f(x)

Проведем хорду, соединяющую точки A и B, и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

, откуда

и .

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

Вычислим производную функции F(x):

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть и .

Билет 32.

Сформулировать теорему о дифференцировании сложной функции. Выписать таблицу производных в терминах сложных функций.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Пусть функция x = f(t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = f(t). Тогда сложная функция y = f(f(t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула

(f(f(t)))' = f'(x)f'(t).