Задачи для самостоятельного решения
Эластичность функции.
Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции
к относительному приращению переменной
при
:
.
Свойства эластичности.
- Эластичность – безразмерная величина.
- Эластичности обратных функций – обратные величины.
- Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций.
- Эластичность дроби двух функций равна эластичности числителя минус эластичность знаменателя.
- Эластичность суммы двух функций определяется по формуле:
.
Пример 1.
Определить эластичность функции .
Решение. .
Пример 2.
Определить эластичность функции .
Решение. .
Функции спроса и предложения.
Эластичность может быть использована при анализе спроса и предложения по цене, себестоимости продукции и т.д. Спрос является невозрастающей функцией цены.
Рассмотрим эластичность спроса по цене:
, где
- функция спроса от цены,
- цена товара.
Эластичность спроса по цене показывает, насколько процентов изменится спрос на какой-либо товар при изменении цены товара на один процент и характеризует чувствительность потребителей к изменению цен на товары.
Аналогично определяется эластичность предложения по цене:
, где
- количество предлагаемого на продажу товара,
- цена товара. Функция
является неубывающей функцией от цены.
При равенстве спроса и предложения цена на товар называется равновесной.
Если , то спрос считается эластичным. Если
, то спрос считается неэластичным.
Выручка продавца (расходы покупателя) рассчитываются по формуле: .
Эластичность выручки по цене определяется как: , поскольку
всегда отрицательна. Таким образом, если спрос эластичен по цене, то при увеличении цены товара продавец получит меньшую выручку, а при уменьшении – большую. Если спрос неэластичен по цене, выручка возрастет при незначительном увеличении цены на товар и уменьшится при уменьшении цены.
Пример 3.
Функции спроса и предложения имеют вид .
Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения по этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3%.
Решение.
Равновесная цена находится из равенства =
или
. Откуда получаем, что
или
. Находим эластичности спроса и предложения:
и
. Так как полученные эластичности больше 1 по модулю, спрос и предложение эластичны. Уменьшение цены на один процент приводит к увеличению спроса на 2 процента и уменьшению предложения на 2 процента. При увеличении цены на 3% спрос уменьшится на 3*2=6.
Уменьшение дохода равно 6-3=3%.
Пример 4.
Функции спроса и предложения имеют вид .
Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения по этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3% и изменение выручки продавца при увеличении цены на 1%.
Решение.
Равновесная цена находится из равенства или 1=
.
. Так как эластичности меньше 1, спрос и предложение неэластичны по цене. При увеличении цены на один процент спрос уменьшится на 0,3 процента. При увеличении цены на 3% доход возрастет на 3-0,9=2,1%. При уменьшении цены на 3% доход уменьшится на 3+0,9=2,1%. Рассчитаем эластичность выручки продавца:
. Следовательно при увеличении цены на 1% выручка продавца возрастет на 0,7%.
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найти эластичность следующих функций:
2. Функции спроса и предложения имеют вид .
Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения при этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3% .
3. Функции спроса и предложения имеют вид .
Определить равновесную цену, эластичность спроса и предложения при этой цене, изменение дохода при изменении цены на 3% .