Раздел 3. Элементы аналитической геометрии
ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ЭКЗАМЕНА
Уважаемый г. Студент! Вам предлагается набор задач, охватывающий разделы курса «Алгебра и геометрия» в объеме, предусмотренном учебной программой большинства специальностей факультета ИСТ. Подобные задачи будут включены в экзаменационные билеты, поэтому необходимо уметь их решать.
Раздел 1. Комплексные числа
1. Дать геометрическое описание множества точек, удовлетворяющих неравенству 
.
2. Вычислить 
и 
, если 
.
3. Вычислить 
.
4. Найти корни уравнения 
.
Раздел 2. Элементы векторной алгебры
5. Вектор 
образует с координатными осями углы 
, вектор 
- углы 
. Найти угол между векторами и .
6. Найти угол между векторами 
, если 
, угол между 
равен 
.
7. Найти величину острого угла параллелограмма 
, если две его вершины 
и точка пересечения диагоналей 
.
8. Точками 
и 
отрезок 
разделен на три равные части. Найти 
, если 
.
9. На векторах 
построен параллелограмм. Найти длины его диагоналей, если 
, угол между и равен 
.
10. Найти направляющие косинусы вектора 
, если 
.
11. Зная, что 
, найти 
.
12. Найти площадь треугольника 
, если 
13. Найти объем пирамиды с вершинами в точках 
.
Раздел 3. Элементы аналитической геометрии
14. В параллелограмме известны координаты вершин 
и точка пересечения диагоналей 
. Найти уравнения его сторон.
15. Найти точку, симметричную точке 
относительно прямой 
.
16. В треугольнике известны координаты двух вершин 
и точка пересечения высот 
. Найти координаты вершины .
17. Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 
, 
и точка пересечения диагоналей . Найти уравнения двух других сторон.
18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
параллельно векторам 
.
19. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 
параллельно прямой 
.
20. Найти расстояние от точки 
до плоскости, проходящей через точки 
.
21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки 
и 
перпендикулярно плоскости 
.
22. Найти проекцию точки 
на плоскость 
.
23. Найти точку, симметричную точке 
относительно плоскости 
.
24. Найти проекцию точки 
на прямую 
.
25. Найти расстояние от точки 
до прямой 
.
26. Найти точку, симметричную точке 
относительно прямой 
.
27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 
и прямую 
.
28. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую 
перпендикулярно плоскости 
.
29. Доказать, что прямые: 
и 
лежат в одной плоскости. Составить уравнение этой плоскости.
30. Найти расстояние между прямыми
и 
.
31. Прямая 
проецируется на плоскость 
. Найти уравнение проекции.
32. Кривая задана уравнением: 
. Определить ее тип, найти эксцентриситет и уравнения директрис.
33. Кривая задана уравнением 
. Определить ее тип, найти эксцентриситет и уравнения директрис.
34. Составить уравнение эллипса, зная, что его фокусы 
, эксцентриситет 
. Составить уравнения директрис.
35. Составить уравнение гиперболы, зная ее фокусы 
и эксцентриситет 
.