Предел числовой последовательности

Определение функции

это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений)

Способы задания функции

Задать функцию означает установить правило (закон), с помощью которого по данным значениям независимой переменной следует находить соответствующие им значения функции. Рассмотрим некоторые способы задания функций.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами - наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и q принадлежит интервалу [0; 1), то [x] = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке [r; r+1) и на нем [x] = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x - [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q ( r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале [0; 1), получим {x} = r + q - r=q

Основными недостатками словесного способа задания функции являются невозможность вычисления значений функции при произвольном значении аргумента и отсутствие наглядности. Главное преимущество же заключается в возможности задания тех функций, которые не удается выразить аналитически.

 

 

3.Основные элементарные функции (названия, уравнения, график):линейная, дробно-линейная, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции

Пропорциональные величины.Если переменные y и x прямо пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x ,   где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k ( рис.8 ). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = -3 .  
2. Линейная функция.Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:   A x + B y = C ,   где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.    
3. Обратная пропорциональность.Если переменные y и x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:   y = k / x ,   где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конусаплоскостью ( о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия» ). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy= k.     Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x 0, область значений: y 0 ; - функция монотонная ( убывающая ) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 ( подумайте, почему ? ); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет.  
4. Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае: b = c = 0 и y = ax 2. График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы.Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.   График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x2 идискриминанта D = b2 – 4ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.
         

 

5. Степенная функция. Это функция: y = axn, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 -квадратную параболу ; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу.Таким образом, эти функции - частные случаи степеннойфункции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, приn = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат ( поясните, пожалуйста, почему ? ).Все эти случаи ( при a = 1 ) показаны на рис.13 ( n 0 ) и рис.14 ( n < 0 ). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:       Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой. На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2, её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

 

6. Показательная функция. Функция y = ax, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.Аргумент x принимаетлюбые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте,пожалуйста !). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку ( 0, 1 ). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции: - < x < + ( т.e. x R ); область значений: y > 0 ; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
7. Логарифмическая функция. Функция y = log a x, где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график ( рис.18 ) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координа тного угла.   Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0,а область значений: - < y < + ( т.e. y R ); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - у функции есть один ноль: x = 1.
8. Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y= sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.   График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2. Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения: - < x < + ;область значений: -1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ; - функции ограниченные ( | y | 1 ), всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции ( см. графики рис.19 и рис.20 ); - функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения»).   Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22   Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций:
9. Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены водноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.  

 

Функции y = Arcsin x ( рис.23 ) и y = Arccos x ( рис.24 )многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

 

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1 ;

их области значений: - /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая );

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

 

Функции y = Arctan x ( рис.25 ) и y = Arccot x ( рис.26 )- многозначные, неограниченные; их область определения: - x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

 

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: - x + ;

их области значений: - /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

( y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая );

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль ( x = 0 );

функция y = arccot x нулей не имеет.

 

Четные и нечетные функции

Нечётные и чётные функции — функции, графики которых обладают симметрией относительно изменения знака аргумента. Это понятие важно во многих областях математического анализа, таких как теория степенных рядов и рядов Фурье. Такое название возникло как обобщение чётности степенных функций: функция f(x) = xn чётна тогда и только тогда, когда n чётно, и нечётна тогда и только тогда, когда n нечётно.

Определения

Определения вводятся для любой симметричной относительно нуля области определения , например, отрезка или интервала.

Функция у = f (x) называется чётной, если она не меняется, когда независимое переменное изменяет только знак, то есть, если f (—x) = f (x). Если же f (—x) = — f (x), то функция f (x) называется нечётной. Например, у = cosx, у = x2— чётные функции, а = у sinx, у = x3— нечётные. График чётной функции симметричен относительно оси Оу, график нечётной функции симметричен относительно начала координат.

Периодические функции

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Формально говоря: если существует положительное число T>0, такое что на всей области определения функции выполняется равенство f(x)=f(x+T). Наименьшее из этих чисел называется периодом функции.

Монотонные функции

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Числовые функции

В математике числовая функция — это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств — как правило, множества вещественных чисел или множества комплексных чисел

Предел числовой последовательности

предел числовой последовательности — это такое число, что для всякой сколь угодно малой величины существует номер, начиная с которого уклонение членов последовательности от данной точки становится меньше заранее заданной величины.

Определение 2. Конечное число а называется пределом числовой последовательности x1; x2; ... ; хn; ... (или просто {хn}), если для любого > 0 (сколь угодно малого) существует число N = N() такое, что |хn - а| N.