Свойства определителя n-го порядка

  1. Если у определителя поменять 2 строки, то определитель изменит знак.
  2. Если есть нулевая строка, то определитель равен 0.
  3. Если все элементы строки умножить на число, то определитель увеличиться на это число.
  4. Определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы.
  5. det(AB)=detA*debt(без док)
  6. , если i≠j.

9.

Обратные матрицы

Матрица А-1 называется обратной для А, если А-1А=АА-1=Е→А – квадратная матрица.

Вырожденная матрица – матрица определитель которой не равен 0

Теорема: Если А не вырожденная, то существует одна А-1.

Доказательство:

Пусть А[nxn]= det(a)=0 S= A-1=1/Δn*Sт

AA-1=E

A(1/Δn*Sт)=E

(1/Δn)* * =(1/Δn)* = =(1/Δn)* =

Доказательство единственности:

Предположим, что есть 2 обратных матрицы для А..

A-1 и В

А-1А=АА-1=Е

BA=AB=E (1-2)

А-1А-BA= АА-1-AB=E-E

A(A-1-B)=A(A-1-B)=0

A-1-B=0 => (a-1)ij=bij => A-1=B.

10.

Матричные уравнения

A-1|AX=В→ EX=A-1B→ X=A-1B

A – матрица коэффициентов, X – столбец неизвестных.

11.

Системы n уравнений

X=A-1B= =

12.

Формула Крамера.

, Δi-определитель полученный из матрицы А если в ней столбец заменить на столбец свободных членов. Вывод

Теорема Крамера.

Система из n линейных уравнений м n неизвестными, определитель которой отличен от 0, имеет единственное решение, которое может быть найдено по формуле Крамера.

13.

Минор матрицы

Ранг матрицы

  1. Если в матрице А выделить k строк и k столбцов, то определитель составленный из элементов, стоящих на пересечении этих строк и столбцов называется минором k-го порядка матрицы А. Ранг матрицы – наивысший порядок минора отличный от 0
  2. Элементы S1, S2…Sn называются линейно зависимыми, если существует набор чисел n1, n2…nn такой что n1S1+n2S2+…+nnSn=0 и хотя бы одно из чисел ni≠0. Если это выполняется при всех т=0, то элементы называются не линейно зависимыми. Ранг матрицы – количество линейно независимых строк или столбцов этой матрицы.

14.

Теорема Кронехера-Копелли

Система из m линейных уравнений с n неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу расширенной матрицы, причем:

  1. если rA=rÂ=n – 1 решение.
  2. если rA=rÂ<n - ∞ решений.
  3. если rA≠rÂ≤n - нет решений.

16.

Совместная система – система, имеющая хотя бы 1 решение.

Решение системы – набор чисел такой, что при подстановке в систему каждое уравнение превращает в равенство.

Общее решение– решение из которого можно получить все частные решения

1. Все неизвестные выражаются через 1 параметр (кол-во неизвестных = n-rA)

2. Все базисные неизвестные выражаются через свободные члены.

Свободное неизвестное – неизвестное в ответе, остальные – базисные

Алгоритм Гаусса

    1. Найти ai1≠0 и поставить на первое место
    2. S1→S1:a11
    3. Si→Si-ai1S1, где i=2,3...m
    4. Ищем aj2≠0(j≠1) и т.д. если aj2=0 при любом j=2…m, то ищем aj3≠0 (j≠1).

18.