Скінченні поля на базі кілець
Класів лишків за даним простим модулем
Вище як приклад скінченного поля розглядалося кільце класів лишків цілих чисел за модулем простого числа
.
Арифметика над скінченними полями широко застосовується в криптографії і є основою багатьох криптосистем. Елементами таких полів є тільки скінченні числа, при операціях над якими відсутні похибки заокруглення.
Покажемо, як перенести структуру поля з на множину без алгебраїчної структури.
Для простого числа позначимо через
множину
. Визначимо відображення
, де
(
– класи лишків за модулем
). Тоді множина
із структурою поля, індукованою відображенням
, також утворює скінченне поле, яке називається полем Галуа порядку
за ім’ям їх першого дослідника Еваріста Галуа.Таке поле ще позначають
(
– Galois Field – поле Галуа).
Відображення є ізоморфізмом,оскільки зберігає операції:
. Нулем скінченного поля
буде нуль 0, а одиницею – одиниця 1і його структура співпадає із структурою поля
.
При обчисленнях з елементами поля використовується арифметика цілих чисел із зведенням за модулем
.
Приклад 3. Найпростішим і найважливішим у застосуваннях є поле другого порядку з елементами
, для яких виконуються операції + і
, визначені таблицями Келі:
+ | ||
![]() | ||
Приклад 4. В полі Галуа , яке ізоморфне скінченному полю
лишків цілих чисел за модулем 7, типові арифметичні операції виглядають так:
,
,
,
.
Характеристика поля
Скінченні поля :
,
,
, …, посіли серед скінченних полів місце, яке можна зіставити з місцем, яке відведене полю раціональних чисел
.
Означення. Поле, яке не має ніякого власного підполя, називається простим.
Теорема. Кожне поле містить одне і тільки одне просте поле
, яке ізоморфне або полю
, або полю
для деякого простого
.
Доведення.Припустимо, що поле містить два різних простих підполя
. Тоді за теоремою про переріз підполів
буде полем (очевидно, непорожнім, оскільки 0 і 1 містяться як в
, так і в
), відмінним від
і
. А це неможливо зважаючи на їх простоту. Отже, просте підполе
єдине. □
Означення.Кажуть, що поле має характеристику нуль, якщо його просте підполе
ізоморфне полю
. Кажуть, що поле
простої (або скінченної) характеристики
, якщо його просте підполе
ізоморфне полю
. Відповідно пишуть
або
.
В полі характеристики нуль всі елементи, кратні одиниці поля, нерівні між собою, тобто при
. В полі скінченної характеристики існують такі цілі числа
,
, що
(або
). Інакше: якщо одиниця поля є елементом нескінченного порядку в адитивній групі поля, то це поле має характеристику нуль, а якщо одиниця поля – елемент скінченного порядку – характеристика в дорівнює порядку одиниці поля в адитивній групі поля.
Так, числові поля раціональних, дійсних та комплексних чисел мають характеристику нуль, а будь-яке кільце класів лишків цілих чисел за простим модулем
– це поле характеристики
.
Приклад 5. Поле Галуа має
, тому що рівність
у цьому полі виконується при найменшому додатному значенні
(тобто
).
Теорема 1. В полі скінченної характеристики
, для будь-якого елемента
справджується рівність
. В полі
характеристики нуль для цілого числа
з
випливає
.
Доведення. Згідно з означенням характеристики поля, в першому випадку . А в другому випадку, якби було справедливим твердження
, то це означало б, що при
справджується рівність
. Через нульову характеристику поля звідси виходить
, що суперечить умові теореми. □
Теорема 2. Якщо – підполе поля
, то
.
Справедливість теореми випливає з того, що одиниця поля є одиницею свого підполя.
Теорема 3. Якщо , то
– просте число.
Наслідок. Характеристика скінченного поля – просте число.
Теорема 4. Будь-яке скінченне поле характеристики
містить просте підполе з
елементів і є скінченним розширенням цього підполя.
Теорема 5. Нехай – скінченне поле характеристики
Тоді для довільних елементів
,
цього поля і для довільного
справджуються рівності
;
(
).