Абсолютная и условная сходимость
ПП 23. Несобственные ИНТЕГРАЛы
Основные определения и формулы
1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку)
Если пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы сходятся. Если же эти пределы не существуют или бесконечны, то несобственные интегралы расходятся.
Обобщенная формула Ньютона-Лейбница
.
,
, где F( 
) = 
,
F(x) – первообразная для функции f(x).
Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами
Признаки сравнения
1. Если а £ х < +¥, 0 £ f(х) £ g(х), то
из сходимости 
сходимость 
, 
£ 
;
из расходимости 
расходимость 
.
2. Если при а £ х < +¥, f(х) > 0, g(х) > 0 и существует конечный предел 
, то интегралы 
, сходятся или расходятся одновременно.
Эталоном сравнения служит интеграл:
сходится при р > 1, при р 
1 расходится.
Признак сходимости Абеля
Если f(х) >0 и g(х) определены и ограничены при а £ х < +¥, причем
1) 
сходится;
2) g(х) монотонна и ограничена, 
,
тогда сходится и интеграл 
.
Абсолютная и условная сходимость
Если сходится 
, то сходится и . В этом случае 
называется абсолютно сходящимся.
Если сходится, а расходится, то называется условно сходящимся.
| ПП 23. 1. Несобственные интегралы первого рода (по бесконечному промежутку) | |||
| № п/п | Задача | Ответ | |
| ПП 23№1 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
 .
 - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией  , прямой x = 1,  .
|  1
| |
| ПП 23 №2 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
 .
 - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией  , прямой x = 1, .
| 
расходится
| |
| ПП 23 №3 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
 не существует.
Несобственный интеграл расходится.
| расходится | |
| ПП 23 №4 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
 .
 - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией  , прямой x = 0,  .
| 
| |
| ПП 23 №5 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
 .
 - площадь фигуры, ограниченной осью Ох, линией  ,  .
| 
| |
| ПП 23№6 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
Решение:
=  =  =  =  .
|
| |
| ПП 23 №7 | Вычислите или установите расходимость несобственного интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
 =  =  = 
|
| |
| ПП 23 №8 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
| расходится | |
| ПП 23 №9 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
| 
| |
| ПП 23 №10 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
| ||
| ПП 23 №11 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
 предел не существует,
расходится.
| расходится | |
| ПП 23 №12 | Исследуйте на сходимость интеграл 
РЕШЕНИЕ:
Интеграл  расходится, т. к. р = < 1.
По предельному признаку сравнения
значит, интеграл  расходится.
| расходится | |
| ПП 23 №13 | Исследуйте на сходимость интеграл 
РЕШЕНИЕ:
интеграл  расходится,
по предельному признаку сравнения  расходится.
| расходится | |
| ПП 23 №14 | Исследуйте на сходимость интеграл  .
РЕШЕНИЕ:
Интеграл  расходится,
т. к. р = < 1,
следовательно, по первому признаку сравнения расходится и .
| расходится | |
| ПП 23 №15 | Исследуйте на сходимость интеграл  .
РЕШЕНИЕ:
 ,
Интеграл  = 
расходится, т. к. р =  < 1,
следовательно, по первому признаку сравнения расходится и .
| расходится | |
| ПП 23 №16 | Исследуйте на сходимость интеграл  .
РЕШЕНИЕ:
Подынтегральная функция  =  , наибольшая степень многочлена в знаменателе равна 3.
Для сравнения возьмем функцию g(х)=  ,  =  =1¹0,
по предельному признаку сравнения интеграл и интеграл  сходятся или расходятся одновременно. Интеграл сходится, т.к. р > 1, следовательно, интеграл тоже сходится.
| сходится | |
| ПП 23 №17 | Исследуйте абсолютную сходимость интеграл  .
РЕШЕНИЕ:
Подынтегральная функция =  ;
 =   , т.к. ½сos 2х½ £ 1
для любых х.
Интеграл  =  =  =
=  сходится.
Тогда по признаку сравнения сходится интеграл  , значит, интеграл сходится абсолютно.
| сходится абсолютно |
2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций)
, 
если функция 
непрерывна
на полуинтервале [a,b)
и неограниченна вблизи b;
,
если функция непрерывна
на полуинтервале (a,b] и неограниченна вблизи а;
, 
если функция непрерывна на отрезке [a,b] всюду, кроме некоторой точки с (а<c<b), и неограниченна вблизи с.
- площадь бесконечной фигуры, ограниченной снизу отрезком [a,b] оси Ох, сверху линией y = , слева и справа – прямыми x = a и x = b.
Если пределы существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися, в противном случае - расходящимися.
Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла второго рода:
, где F(b)= 
,
, где 
.
Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функцийаналогичны признакам сходимости интегралов с бесконечными пределами.
Эталоном сравнения служит интеграл:
сходится при 0< p < 1 и расходится при p ³ 1.
| ПП 20. 2. Несобственные интегралы второго рода (от неограниченных функций) | ||
| № п/п | Задача | Ответ |
| ПП 23 №18 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
Подынтегральная функция  не ограничена при x=2.
По формулу Ньютона-Лейбница:
| 
|
| ПП 23 №19 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
Подынтегральная функция f(x)=  не ограничена вблизи x=0.
По определению:  .
Интеграл  - расходится, поэтому и интеграл - расходится.
Если вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке x = 0, то получили бы неверный результат  .
| расходится |
| ПП 23 №20 | Вычислите или установите расходимость интеграла  .
РЕШЕНИЕ:
Функция =  непрерывна для х Î [0, 1),  .
 =  =  =  =  - 0 = , т.е. интеграл сходится.
|
|
| ПП 23 №21 | Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
| расходится |
| ПП 23 №22 | Вычислите несобственный интеграл или докажите, что он расходится.
РЕШЕНИЕ:
|
|
| ПП 23 №23 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
Решение:
| |
| ПП 23 №24 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
Решение:
 
| 
|
| ПП 23 №25 | Вычислите несобственный интеграл  или докажите, что он расходится.
Решение:
| 
|
| ПП 23 №26 | Исследуйте на сходимость интеграл
Решение:
Интеграл  сходится, т.к. р =  < 1,
 , значит интеграл  сходится по предельному признаку сравнения.
| сходится |
| ПП 23 №27 | Исследуйте на сходимость интеграл  .
Решение:
Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х®0.
 ,
интеграл  сходится, т.к. р =  < 1, значит, интеграл сходится.
| сходится |
| ПП 23 №28 | Исследуйте на сходимость интеграл  .
РЕШЕНИЕ:
Подынтегральная функция неограниченно возрастает при х®1.
Представим подынтегральную функцию в виде
=  =  .
Cравнение с  при х®1 даёт р = < 1. Интеграл сходится.
| сходится |
| ПП 23 №29 | Исследуйте на сходимость интеграл  .
РЕШЕНИЕ:
 
  
- эквивалентные бесконечные большие функции.
Интеграл  расходится (  =1).
По предельному признаку сравнения и расходится.
| расходится |
| ПП 23 №30 | Исследуйте на сходимость интеграл 
РЕШЕНИЕ:
Интеграл  сходится, т.к. р = < 1,  значит, интеграл  сходится по предельному признаку сравнения.
| расходится |