Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат
Момент силы относительно оси - проекция на эту ось момента силы относительно любой точки лежащей на оси.
Момент сил относительно декартовых осей координат (проекции момента силы на эти оси).
| i j k |
M0(F) = r * F = | x y z | = (y*Fz - z*Fy)*i + (z*Fx - x*Fz)*j + (x*Fy - y*Fx)*k = Mox(F)*i + Moy(F)*j + Moz(F)*k
| Fx Fy Fz |
Mox(F)=y*Fz - z*Fy
Moy(F)=z*Fx - x*Fz
Moz(F)=x*Fy - y*Fx
Дополнение:
Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки.
Пара сил - система двух сил равных по модулю и противоположных по направлению.
F1 = -F2
R* = F1 - F2 = 0
AC/F2 = BC/(R*) (стремится к бесконечности)
(F1,F2) не эквивалентны 0
Момент пары сил - произведение одной из сил на ее плечо.
M(F1,F2) = M12 = ±F1*d = ±F2*d
Векторный момент пары сил.
MA = AB * F2
MA = F2 * AB * sinα = F2d
MB = BA * F1 = F1 * d
M = MA = MB = S(ACBD)
Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки:Сумма моментов сил, входящих в состав пары сил относительно любой точки не зависит от ее выбора и равна моменту этой пары сил.
F1 = -F2
Mo(F2) + Mo(F1) = r2*F2 + r1*F1 = r2*F2 - r1*F2 = (r2 - r1)*F2 = AB * F2 = M(F1,F2)
Векторный и алгебраический моменты пары сил.
Алгебраический момент M=±F•d (пара). M=±dF1=±dF2=±2SΔABC= ±S. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).
Векторный момент – вектор M=M(F,F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.
M(F1,F2)=BAxF1=ABxF2.
Дополнение:
( + 32) Момент силы относительно оси )
Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил.
Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо.
Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар.
M=M(R,R’)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2.
СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар.
Дано: (F1, F1’), (F2, F2’)
Доказательство:
Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары:
(Q1,Q1’) и (Q2,Q2’). При этом M1=M(Q1,Q1’)=M(F1, F1’),
M2=M(Q2,Q2’)=M(F2, F2’).
Сложим силы R=Q1+Q2, R’=Q1’+Q2’. Т. к. Q1’= -Q1, Q2’= -Q2 Þ R= -R’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R’). M(R,R’)=BA×R=BA×(Q1+Q2)=BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1’)+ M(Q2,Q2’)=M(F1,F1’)+ M(F2,F2’) Þ M=M1+M2.
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ:
Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю.
M1+M2+…+Mn=0.