Нет, т.к. это является необходимым условием. при (0,0) =0 это >=0 Отв:да (я точно не уверена в том что >=0)
35. f(x,y)=x6y4 (0,0)
| x=0 y=0 |
при (0,0) =0 это >=0 Отв:да (я точно не уверена в том что >=0)
36. f(x,y)=xy4 (0,0)
| x=0 y=0 |
при (0,0) = 0 Отв: да (точно не уверена)
37. f(x.y)=x2-y2 (o,o)
| x=0 y=0 |
=-4 <0 точек нет Ответ: нет
38. а) F’x=2x F’y=2y
В точке (1,1) первые производные данной функции не обращаются в ноль, следовательно точка (1,1) не является точкой локального экстремума (не выполняется необходимое условие).
б) Дано уравнение связи x+y=2. Y=2-x
f= x2+(2-x)2=2x2-4x+4
f’=4x-4=0 x=1 при х=1 у=2-1=1
39. Рассмотрим 3 случая. 1) х-1>0 2)x-1<0 3) x=0
Аналогично как в предыдущих.
Ответ: -3
40. Ответ: наим 32=9
Наиб 72=49
Ответ: наим 32=9
Наиб 72=49
Наиб 72=49
Теорема о равенстве смешанных производных
Если производные 
и 
существуют в некоторой окрестности точки М(х0, у0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство
(М)=(М)
Формула Тейлора для функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа.
Пусть функция f(х) имеет (п +1)производных в E-окрестности точки х0 . Тогда для любой точки х из этой окрестности найдется точка с, расположенная между точками х и х0, для которой выполняется следующая формула
f(х) = T(х) + 
где T(x)- п-й многочлен Тейлора функции f(х) в точке х0. - остаточный член в форме Лагранжа
Локальные экстремумы функций нескольких переменных.
Точка М называется точкой локального минимума функции у=f(x), если существует такая окрестность М, что в любой точке Xэтой окрестности выполняется неравенство f(М) <= f(X).
Аналогично точка М называется точкой локального максимума функции y = f (X), если существует такая окрестность М, что в любой точке X этой окрестности выполняется неравенство f(М) >= f(X).
Точки локальных минимумов и максимумов функции у=f(X) называются точками локальных экстремумов данной функции
Необходимое условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Теорема. Пусть функция f(x1, ..., xm) определена в некоторой окрестности т. 
, дифференцируема в точке М0, и имеет в этой точке локальный экстремум, тогда все частные производные первого порядка функции f в т. М0 равны нулю: 
Достаточное условие локального экстремума функций нескольких переменных.
Пусть в некоторой окрестности стационарной точки определены частные производные второго порядка функции f(x1, ..., xm), которые являются непрерывными в т. М0. Если в этой точке второй дифференциал d2 f(M0) является знакоопределенной квадратичной формой от dx1, ..., dxm, то в т. М0 функция имеет локальный экстремум (локальный максимум, если d2 f(M0) отрицательно определена, и локальный минимум, если d2 f(M0) положительно определена), если же d2 f(M0) знакопеременна, то в т. М0 экстремума нет.
Условный экстремум.
Пусть у= f(X) функция с областью определения D(f) и пусть S - подмножество в D(f) (т.е. S является частью в D(f). Точка Aпринадлежит S называется точкой условного минимума функции f, если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей одновременно и в этой окрестности точки А и множестве S, верно неравенство f(A)<= f(B).
Аналогично точка А принадлежит S называется точкой условного максимума функции f, если существует такая окрестность точки А, что для любой точки В, лежащей в этой окрестности и в S, верно неравенство f(A)>=f(B).
Общее название для условных минимумов и максимумов — условные экстремумы.
Метод Лагранжа.
Пусть функции f и g1 …gs определены и имеют непрерывные частные производные в окрестности точки х* причем, векторы
линейно независимы. Тогда если х* - точка условного экстремума функции f при условиях 
то найдутся числа ʎ1 …ʎs для которых x* - стационарная точка функции
Функция L называется функцией Лагранжа, а числа множителями Лагранжа.