ЗМІСТОВНИЙ МОДУЛЬ ІІ. УЗАГАЛЬНЕНІ ЕКОНОМЕТРИЧНІ МЕТОДИ І МОДЕЛІ
Завдання5
(множинна нелінійна залежність між попитом та ціною на деякій товар)
Нехай на повний вигляд товару таблиця попиту має вигляд:
| Pi | |||||||||||
| Di | 8,3 | 7,28 | 6,38 | 6,3 | 5,49 | 4,7 | 3,7 | 3,2 | 2,5 | 1,96 | 1,56 |
де Рі- ціна за одиницю товару
Dі - кількість товару поданого за певний період по ціні Рі
1. На основі статистичних даних знайти оцінки параметрів регресії попит, якщо допустити, що вона має таку структуру:
D=a0+a1P+a2P2 (1)
2.Зробити повний регресійний, дисперсійний та економічний аналіз моделі.
3. Обчислити:
- проміжки цін зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні;
- ціну на товар, за якої товарообіг у грошовому вираженні буде максимальним;
- проміжки цін зростання та спадання прибутку;
- оцінку ціни на товар, за якої прибуток буде максимальним, та його значення.
Рішення
1. Згідно теорії перетворимо вхідні данні залежності попиту від ціни в лінійну модель і заповнимо наступну таблицю.
Таблиця 8
| Di | Pi | Pi2 |
| 8,3 | ||
| 7,28 | ||
| 6,38 | ||
| 6,3 | ||
| 5,49 | ||
| 4,7 | ||
| 3,7 | ||
| 3,2 | ||
| 2,5 | ||
| 1,96 | ||
| 1,56 |
де 
, 
.
Застосовуючи пакет аналіз «Регресія» табличного процесору Excel отримали наступні дані (табл. 9)
Таблиця 9
Результати регресійного дисперсійного аналізу моделі
| Регресійна статистика | ||||||
| Множинний R | 1,00 | |||||
| R-квадрат | 0,99 | |||||
| Нормований R-квадрат | 0,99 | |||||
| Стандартна помилка | 0,22 | |||||
| Спостереження | 11,00 | |||||
| Дисперсійний аналіз | ||||||
| df | SS | MS | F | Значущість F | ||
| Регресія | 2,00 | 50,68 | 25,34 | 514,13 | 3,5-E9 | |
| Остаток | 8,00 | 0,39 | 0,05 | |||
| Усього | 10,00 | 51,07 | ||||
| Коефіцієнти | Стандартна помилка | t-статистика | P-Значення | Нижня межа 95% | Верхня межа 95% | |
| Y-перетин | 8,97 | 0,24 | 36,81 | 0,00 | 8,41 | 9,54 |
| Змінні X 1 | -0,79 | 0,09 | -8,42 | 0,00 | -1,00 | -0,57 |
| Змінна X 2 | 0,01 | 0,01 | 1,19 | 0,27 | -0,01 | 0,03 |
2.Аналіз даних робиться на основі прикладів рішення задач лабораторної роботи 18-22 (Задача 10.1)
3. Згідно даним таблиці 11.2: а0=8,97
а1=-0,78
а2=0,01
отже рівняння нелінійної залежності між попитом та ціною на деякий вид продукції має вигляд:
(11.2)
4.Для пошуку проміжків зростання та спадання товарообігу в грошовому вираженні підставимо значення знайдених оцінок параметрів регресії у формулу:
) (11.3)
Маємо:Р1=51,64 Р2=6,41.
Після підстановки отриманих значень у рівняння товарообігу, що дорівнює
: 
Отримаємо два значення товарообігу одне максимальне , друге мінімальне.
Отже в точці Р1=51,64 товарообіг мінімальний а в точці Р2=6,41- максимальний. Проміжки зростання (враховуючі, що ціна – значення не від’ємне, теж саме стосується і товарообороту) товарообігу 
та спадання 
.
При р=13,6 значення товарообігу приблизно дорівнюватиме 0.
5. Для пошуку максимального прибутку скористуємося формулою:
(11.4)
де С –сталі витрати, а VD – змінні витрати в собівартості продукції, та:
Підставляючи ці значення в формулу прибутку, знаходимо його похідну по Р і прирівнюємо до 0. Рішення квадратного рівняння має наступний вигляд:
(11.5)
а V – коефіцієнт змінних витрат пропорційний обсягу випуску продукції.
Підставляючи отримані оцінки параметрів моделі маємо, наближено вираз значення ціни при найбільшому прибутку:
(11.6)
Отже чім більше значення V, тим більше ціна, так як підкореневий виріз завжди невід’ємний.
Якщо відома собівартість продукції і відповідно її змінні витрати, то можна обчислити максимальний прибуток:
 |
де 
обчислено за формулою (11.2) при заданому значення V І с (С= 2,1 од. а, V= 0,7).
Завдання 6
На основі статистичних даних показника Y і факторів 
та 
знайти оцінки параметрів регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між факторами і показником має вигляд У = 1п(а0 +а1/Х1+ а2Х2) на основі вхідних даних:.
Таблиця 10
| x1 | x2 | y |
| 0,352 | 5,206 | 1,0495 |
| 0,4676 | 5,31 | 0,9615 |
| 0,5507 | 5,362 | 0,9765 |
| 0,7729 | 5,507 | 0,905 |
| 0,7995 | 5,763 | 1,008 |
| 1,007 | 5,886 | 0,996 |
| 1,298 | 5,928 | 0,9635 |
| 1,484 | 6,222 | 0,914 |
| 1,783 | 6,595 | 0,9265 |
| 1,867 | 6,737 | 0,9085 |
| 2,115 | 6,986 | 0,9435 |
| 2,312 | 7,054 | 0,975 |
| 2,509 | 7,425 | 0,961 |
| 2,777 | 7,526 | 0,9595 |
| 2,967 | 7,764 |
Використовуючи критерій Фішера, оцінити з надійністю р = 0,95 адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним. Якщо модель адекватна, то знайти:
— оцінки прогнозу та з надійністю р= 0,95 його надійний інтервал;
— оцінки частинних коефіцієнтів еластичності для прогнозу.
Рішення
Вводиться гіпотеза, що між факторами Хь Х2 та показником У існує така стохастична залежність: Y=LN( 
+ 
+ 
)
Для розв'язування задачі використовуємо пакет прикладних програм Регресія, меню Сервіс/Аналіз даних табличного процесора Excel.
Для приведення регресії до лінійного виду пропотенціюємо регресії та зробимо заміну величин
Застосовуючи пакет регресія для перетворених даних отримали оцінки параметрів лінійної регресії виду:
У даному прикладі розрахунку лінія регресії матиме вигляд У = 1n(0,1 + 0,02/ 
+2,6 
).
Згідно табличного значення критерія Фішера, що дорівнює: 12132,4. Можна зробити висновок про адекватність моделі статистичним даним.
Знайдемо формули для частинних коефіцієнтів еластичності:
Для обчислення прогнозу підставимо прогнозні значення у формулу,
маємо: 
.
Для обчислення помилки прогнозу за допомогою матричних функцій табличного процесора введемо:
=КОРЕНЬ(1+МУМНОЖ(МУМНОЖ( 
;МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП( 
); ));ТРАНСП( ))), де:
- вектор стовпець прогнозних значень 
, а - матриця вхідних даних (перетворених) з додатковим першим стовпцем з одиниць (для врахування вільного члена). Отримане значення помножимо на стандартну помилку, що є в таблиці регресійної статистики і дорівнює 0,0024 та табличне значення критерію Стюдента для ступнів вільності (12; 1) та ймовірності 0,95. Воно дорівнюватиме 2,4. Отже стандартна помилка для даного прогнозу дорівнює 0,94. Маємо надійні межи математичного сподівання точкового прогнозу (2,045; 3,945)
Завдання 7.
(Виробнича функція)
Припустимо що виробнича регресія (Кобба-Дугласа) має вигляд:
(1)
е Y-обсяг випущеної продукції;
X1- основні засоби розглянутої галузі;
X2- працезатрати.
На основі статистичних даних, використовуючи МНК, знайти:
- оцінки параметрів виробничої регресії.;
- надійністю p=0,95 встановити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним;
- провести дисперсійний та кореляційний аналіз регресії;
- перевірити залишки моделі на наявність автокореляції залишків;
- знайти частині та сумарний коефіцієнти еластичності та зробити їх економічний аналіз;
- записати вирази для граничної продуктивність і граничного продукту даної регресії;
- обчислити значення прогнозу і його надійний інтервал.
- побудувати ізокванти для Y=172.
Рішення
1. Для оцінки параметрів виробничої регресії приводимо її до лінійної форми. Після логарифмування і заміни величин Y1=ln(Y),Z1=ln(x1),Z2=ln(x2) отримаємо приведену лінійну регресію:
Y1=a01+a1z+a2x2, де a01=lna0 (2.)
Знаходимо оцінки параметрів моделі методом 1МНК за даними таблиці 11
Таблиця 11
Додаткові розрахунки для знаходження оцінок параметрів моделі
| X1 | X2 | Y | Z1 | Z2 | Y1 | |
| 3,912 | 4,500 | 5,024 | ||||
| 4,094 | 4,605 | 5,147 | ||||
| 4,248 | 4,700 | 5,257 | ||||
| 4,382 | 4,787 | 5,361 | ||||
| 4,500 | 4,868 | 5,447 | ||||
| 4,605 | 4,942 | 5,533 | ||||
| 4,700 | 5,011 | 5,617 | ||||
| 4,787 | 5,075 | 5,680 | ||||
| 4,868 | 5,136 | 5,749 | ||||
| 4,942 | 5,193 | 5,811 | ||||
| 5,011 | 5,247 | 5,869 | ||||
| прогноз | 5,075 | 5,298 |
Застосовуючи пакет аналіз «Регресія» табличного процесору Excel отримали наступні дані (Таблиця 12.2)
Таблиця 12.2
Результати регресійного аналізу виробничої функції
| Регресійна статистика | ||||||
| Множинний R | 0,99 | |||||
| R-квадрат | 0,99 | |||||
| Нормований R-квадрат | 0,99 | |||||
| Стандартна помилка | 0,0022 | |||||
| Спостереження | 11,00 | |||||
| Дисперсійний аналіз | ||||||
| df | SS | MS | F | Значущість F | ||
| Регресія | 2,00 | 0,77 | 0,39 | 46610,73 | 5,4Е-17 | |
| Остаток | 8,00 | 0,00 | 0,00 | |||
| Усього | 10,00 | 0,77 | ||||
| Коефіцієнти | Стандартна помилка | t-статистика | P-Значення | Нижня межа 95% | Верхня межа 95% | |
| Y-пересечение | 0,51 | 0,14 | 3,70 | 0,01 | 0,19 | 0,51 |
| Переменная X 1 | 0,22 | 0,05 | 4,19 | 0,00 | 0,10 | 0,22 |
| Переменная X 2 | 0,81 | 0,08 | 10,68 | 0,00 | 0,64 | 0,81 |
Маємо a01=0,51 A1=0,22 A2=0,81
Для визначення коефіцієнту а0 знайдемо використаємо обернену функцію до натурального логарифму – експотенційну. Отже а0 = 
=1,66. Таким чином наша регресія має вигляд:
(3)
Для визначення адекватності вибраної математичної моделі скористуємося обрахованими значеннями таблиці 11.3, стовпця (Значущість F), що дорівнює 
. Отже, для заданого рівня довіри 0,95% ,так як 
, приймається гіпотеза про адекватність моделі статистичним даним.
2. Для обчислення помилки регресії підставимо вхідні значення х1, а х2 у рівняння (11.8) і обчислимо її за формулою :
, (4)
де 
- кількість спостережень (11/8), а 
- кількість факторних змінних (2). Маємо:. 
Обчислена помилка незначна. Для рівняння регресії коефіцієнт детермінації теж розраховується автоматично в процесі знаходження коефіцієнтів регресії ( 
=0,99 — табл.11, рядок «R-квадрат». Він показує, що 99,9% варіації змінної у пояснюється зміною 
. На долю чинників, які не увійшли до рівняння (12.3), приходиться 0,01% варіації результативної ознаки (у).
Про якість кореляційного зв’язку свідчать і нормований та звичайний коефіцієнт кореляції.
Надійність побудованої моделі визначається надійністю множинних кореляційних зв’язків та надійністю окремих коефіцієнтів регресії.
Перевірка надійності окремих коефіцієнтів регресії по t-критерію Стьюдента в стовпці t – Статистика показують що всі фактичні значення t менше теоретичного 2,04. Тому всі змінні, що увійшли до рівняння, є надійними, суттєво відмінними від нуля.
%-ві нижні та верхні довірчі інтервали коефіцієнтів регресії 
наводяться у стовпчиках «Нижні 95%» і «Верхні 95%» (табл.11).
4. Для перевірки на наявність автокореляції залишків застосовуємо Критерий Дарбина-Уотсона (Дані представлені у таблиці 12.3)
Знайдемо оцінку критерію Дарбіна-Уотсона
DW=16,29. Порівнюємо значення DW з табличним для рівня P=0,05 n=12 .DW1 табл=0,9 DW2 табл=1,35
Висновок залишки не мають автокореляцію.
Таблиця 12
Таблиця додаткових даних для обчислення автокореляції
| № | U2 | Ut-U(t-1) | (Ut-U(t-1))2 | Ut*U(t-1) |
| 0,03 | ||||
| 0,02 | -0,02 | 0,00 | 0,00 | |
| 0,14 | 0,13 | 0,02 | 0,00 | |
| 0,16 | 0,02 | 0,00 | 0,02 | |
| 0,67 | 0,51 | 0,26 | 0,11 | |
| 0,00 | -0,67 | 0,45 | 0,00 | |
| 2,95 | 2,94 | 8,67 | 0,01 | |
| 0,29 | -2,65 | 7,04 | 0,86 | |
| 0,03 | -0,26 | 0,07 | 0,01 | |
| 0,01 | -0,02 | 0,00 | 0,00 | |
| 0,20 | 0,18 | 0,03 | 0,00 | |
| сума | 4,51 | 0,17 | 16,54 | 1,02 |
Згідно теорії, частинні коефіцієнти еластичності функції Кобба-Дугласа дорівнюють оцінкам параметрів моделі
Сумарний коефіцієнт еластичності дорівнює сумі частинних:
Так як значення загального коефіцієнта еластичності більше одиниці, то збільшення факторів виробництва в 
(стале число більше одиниці) разів викличе збільшення обсягу виробництва в 
число разів більше за , тобто в 
. В даному випадку маємо економію ресурсів на масштабах виробництва.
6. Граничною продуктивністю праці (ГПП) називається зміна обсягу виробництва продукції за рахунок зміни працезатрат на одиницю при незмінних інших факторах, що впливають на обсяг виробництва продукції. Для нашого випадку вона дорівнюватиме:
(5)
Граничним продуктом праці називається додатковий продукт 
, отриманий у результаті додаткових затрат праці 
при незмінних затратах решти факторів виробництва.
7.Для обчислення довірчого інтервалу оцінки прогнозного значення обчислюємо точковий прогноз для 
, 
.
Підставляємо ці значення в формулу (12.3) маємо:
Побудуємо довірчий інтервал для прогнозного значення за формулою:
(5)
де 
- табличне значення критерію Ст’юдента, 
- середнє квадратичне відхилення дисперсії залишків.
- вектор прогнозованих даних, 
- - матриця коваріацій. 
Для наочного уявлення взаємо змінюваності факторів побудуємо ізокванти для Y=172. Ізокванта залежності Х1 від Х2 має вигляд:
(6)
Якщо сталу:
позначити через b, то отримаємо таку залежність:
Графік ізокванти має вигляд:
Рис. 1 Графік ізокванти для сталого значення У.
Завдання 8.
. (Розрахунок прогнозів із застосуванням методу ковзного середнього)
Маємо дані про виробництво цементу в Україні (табл. 13)
Таблиця 13
Обсяги виробництва цементу в Україні, тис. т.
| Роки | Квартали | |||
| І | ІІ | ІІІ | VI | |
Подувати лінію тренду за допомогою методу ковзної середньої і розрахувати прогноз на 4 квартали наступного року. Всі отримані залежності побудувати на одному графіку.
Рішення
Наносимо точки вхідного часового ряду на графік (рис. 12.1).
З графіка видно, що ряд має сезонні коливання, тому для прогнозування виробництва цементу доцільно використати метод сезонної декомпозиції. Для цього значення показника подаємо у вигляді:
Y=T+S (1) (1)
Щоб виявити форму тренду Т, що відображає загальну тенденцію розвитку економічного процесу, вирівняємо ряд методом ковзної середньої за формулами:
і т. д. (2)
де 
.....розрахункові значення ковзних середніх 4 – го порядку
і т. д. (3)
- значення центрованої середньої 4-го порядку.
Результати розрахунків зведемо в таблицю 14.
Таблиця 14
Розрахунок ковзної середньої 4-го порядку
| № кварталу | Фактичні дані | Звичайна ковзна середня 4-ого порядку | Центрована ковзна середня 4-ого порядку |
| 1320,25 | |||
| 1334,125 | |||
| 1362,5 | |||
| 1388,5 | 1382,75 | ||
| 1405,25 | 1396,875 | ||
| 1418,625 | |||
| 1475,25 | 1453,625 | ||
| 1523,125 | |||
| 1595,25 | 1583,125 | ||
| 1576,5 | 1585,875 | ||
| 1627,75 | 1602,125 | ||
| 1681,75 | 1654,75 | ||
| 1701,375 | |||
| - | -- | ||
| - | - |
Значення центрованої ковзної середньої 4-ого порядку наносимо на графік (рис. 1). Розташування точок на графіку вказує на те, що загальна тенденція виробництва цементу в Україні має форму лінійної залежності, яка виражається формулою 
.
Параметри прямої розраховуємо методом найменших квадратів за формулами:
(4)
для зручності розрахунків використовуємо табл. 15
Таблиця 15
Розрахунок параметрів парної лінійної регресії
| 
| 
| 
|
| 1334,125 | 4002,375 | ||
| 1362,5 | |||
| 1382,75 | 6913,75 | ||
| 1396,875 | 8381,25 | ||
| 1418,625 | 9930,375 | ||
| 1453,625 | |||
| 1523,125 | 13708,13 | ||
| 1583,125 | 15831,25 | ||
| 1585,875 | 17444,63 | ||
| 1602,125 | 19225,5 | ||
| 1654,75 | 21511,75 | ||
| 1701,375 | 23819,25 | ||
 102
| 17998,88
| 1010
| 157847,3
|
Розрахувавши за формулами (5) а0 та а1 запишемо рівняння прямої:
(5)
Для виявлення сезонних складової треба розрахувати значення тренду для кожного кварталу періоду спостереження, тобто для . Кожного кварталу приріст спостереження складає а1 =33,964 тис. т., тому в 3-му кварталі 1 –ого року значення лінійної тенденції буде таким:
= 
1313,106.
Дані для кожного наступного кварталу збільшуються на величину а1 =33,964, заносимо їх в таблицю 16
Таблиця 16
Значення лінійної тенденції
| Роки | Квартали | |||
| І | ІІ | ІІІ | VI | |
| - | - | 1313,106 | 1347,069 | |
| 1381,033 | 1414,997 | 1448,961 | 1482,924 | |
| 1516,888 | 1550,852 | 1584,816 | 1618,779 | |
| 1652,743 | 1686,707 | 1720,67 | 1754,634 |
Графік одержаної прямої наносимо на рис. 1 (для цього досить відкласти 2 точки).
Для визначення сезонної складової від фактичних значень вихідного часового ряду (табл. 13) віднімемо відповідні розраховані за формулою:
S=E-T (6)
Значення загальної тенденції Т (таб. 16). Результати розрахунків зводимо в таблицю 17.
Таблиця 17
Визначення сезонних коливань
| Роки | Квартали | |||
| І | ІІ | ІІІ | VI | |
| - | - | 383,8942 | -81,0695 | |
| -504,033 | 253,0031 | 294,0393 | -149,924 | |
| -532,888 | 290,1482 | 541,1844 | -188,779 | |
| -743,743 | 359,2933 | 621,3295 | -167,634 | |
| -593,555 | 300,8148 | 460,1119 | -146,852 |
| -598,685 | 295,6848 | 454,9819 | -151,982 |
Сезонні складові розраховуються як середні арифметичні для кожного з кварталів за 4 роки за даними таблиці 17
Далі за формулою:
(12.14)
Визначаємо С=5,13 і за формулою: 
, 
- остаточні значення сезонних складових після коригування.Прогнозні значення показника Упр , що визначає обсяги виробництва цементу в Україні розраховуємо за формулами:
і відкладаємо на графіку (рис. 3).
Таким чином аналізуючи циклічні коливання виробництва цементу в Україні можна зробити наступні висновки:
виходячи з фактичних даних обсягів виробництв за останні 4 роки періоди спаду виробництва приходяться в основному на початок кожного року.
Економічний підйом приходиться на перші два квартали кожного року
Найбільший обсяг виробництва припадав на початок 3 кварталу останнього року
Не дивлячись на циклічність процесів, постійного спаду виробництва в 3-4 кварталі кожного року спостерігається тенденція до зросту обсягів по роках.
Тому прогнозовані значення обсягів виробництва цементу на наступний рік показує, що на початок першого кварталу це значення буде найбільшим за 4 попередніх роки, показники виробництва 2-го та 3 кварталів залишаться на тому рівні і, на кінець, року показник буде на рівні 2 –их кварталів попередніх років, що підтверджує гіпотезу про зростання обсягів виробництво в цілому.
Рис.2 Динаміка виробництва цементу (по кварталам)