Математические свойства средней арифметической величины

1) Средняя арифметическая постоянной величины равна этой же постоянной величине.

2) Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равна 0.

3) Сумма произведений индивидуальных значений признака на соответствующие частоты (частости) равна произведению средней арифметической величины на сумму частот (частостей).

4) Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) на какое-то постоянное число А, то средняя арифметическая величина увеличится (уменьшится) на это же число А.

5) Если все значения признака (варианты) увеличить (уменьшить) в К раз, где К – постоянное число, то средняя арифметическая величина увеличится (уменьшится) в это же число раз.

6) Если все частоты (частости) умножить (разделить) на какое-то постоянное число D, то средняя арифметическая величина не изменится.

Расчет средней арифметической величины способом моментов.

Этот способ основан на использовании математических свойств средней арифметической величины. В этом случае средняя величина вычисляется по формуле: , где i – величина равного интервала или любое постоянное число не равное 0; m1 – момент первого порядка, который рассчитывается по формуле: ; А – любое постоянное число.

Возраст депутата (полных лет) (X) Численность депутатов (кол-во человек) (ƒ) Середины интервалов (X) X-24,5
20-29 24,5
30-39 34,5
40-49 44,5
50-59 54,5
60-69 64,5
Итог:      

1) Выбираем постоянное число А, которое будем вычитать из всех значений признака. В нашем случае: А=24,5.

2) Полученные разности - (Х-А) – делят либо на величину равного интервала, либо на любое постоянное число не равное 0. В нашем случае: i = 10.

3) Величины умножаем на соответствующие частоты.

m1=190/82=2,317 ;

Средняя гармоническая величина.

Вычисляют простую и взвешенную среднюю гармоническую величину. Формула простой средней гармонической величины имеет следующий вид: . Формула средней гармонической взвешенной имеет следующий вид: , где Fi=xi*fi. Эта формула применяется в тех случаях, когда в качестве исходных данных приводятся индивидуальные значения признака (варианты) и произведения индивидуальных значений признака на соответствующие частоты (частости). Пример:

Заработная плата (руб./мес.), Х Фонд оплаты труда (руб.)
Итог:

(руб.)

Средняя геометрическая величина.

Еще одной формулой, по которой может осуществляться расчет среднего показателя, является средняя геометрическая величина:

· Невзвешенная (простая): ,

· Взвешенная: .

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.