Застосування принципу Даламбера до визначення реакцій в’язей
1. Принцип Даламбера для невільної матеріальної точки: в кожен момент руху невільної матеріальної точки геометрична сума активних сил, реакцій в’язей і сили інерції дорівнює нулю:
(1)
Вектор , який дорівнює по модулю добутку маси матеріальної точки на її прискорення і направлений протилежно вектору прискорення, називається даламберовою силою інерції, або просто силою інерції матеріальної точки:
. (2)
Якщо рух матеріальної точки заданий природним способом, то прискорення цієї точки визначається за формулою:
.
В цьому випадку сила інерції уявляє собою суму двох складових:
Дотична і нормальна складові сили інерції визначаються за формулами:
,
(3)
2. Принцип Даламбера для невільної механічної системи матеріальних точок: якщо до кожної матеріальної точки рухомої механічної системи крім активних сил і реакцій в’язей прикласти відповідну силу інерції, то у будь-який момент руху діючі на цю точку активні сили, сили реакцій в’язей і сили інерції утворюють зрівноважену систему сил і до неї можна застосовувати всі рівняння статики
(4)
Для розв’язання задач застосовують не сам принцип Даламбера, а наслідки з нього: головний вектор і головний момент відносно будь-якого центра прикладених до системи зовнішніх сил і сил інерції всіх її точок дорівнюють нулю:
,
(5)
3. Головний вектор сил інерції механічної системи дорівнює добутку маси системи на прискорення центра мас і напрямлений протилежно цьому прискоренню:
(6)
Головний момент сил інерції механічної системи відносно деякого центра О дорівнює взятій зі знаком «мінус» похідній за часом від кінетичного момента системи відносно того ж центра
(7)
4. Зведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого виду:
- при поступальному русі твердого тіла сили інерції точок цього тіла зводяться до рівнодійної сили, яка прикладена в центрі мас тіла і дорівнює по модулю добутку маси тіла на модуль прискорення його центра мас і напрямлена протилежно цьому прискоренню:
(8)
- при обертальному русі твердого тіла навколо нерухомої осі, яка є головною центральною віссю інерції, сили інерції точок цього тіла зводяться до пари сил, момент якої визначається за формулою:
(9)
- при плоско паралельному русі твердого тіла, яке має площину симетрії і рухається паралельно до неї, сили інерції точок цього тіла зводяться до сили, прикладеної в центрі мас тіла, яка дорівнює головному вектору сил інерції, і до пари сил, що лежить в площині симетрії, момент якої дорівнює головному моменту відносно осі, що проходить через центр мас тіла перпендикулярно до нерухомої площини:
,
(10)
План розв’язання задач за допомогою принципу Даламбера
1. Зобразити на рисунку механічну систему і прикласти до неї зовнішні сили.
2. Показати на схемі прискорення тіла, рух якого заданий або шукається, і в залежності від його напрямку показати прискорення (лінійні і кутові) всіх інших тіл системи.
3. Прикласти до всіх тіл системи головні вектори і головні моменти сил інерції, знайти їх значення, виразивши їх через задане або шукане прискорення.
4. Вибрати систему координат.
5 Скласти рівняння рівноваги отриманої системи сил.
6. Розв’язати отриману систему рівнянь і знайти шукані величини.
Приклади виконання завдання Д-16
Задача 1.
Визначити реакції зовнішніх в’язей механічної системи.
![]() ![]()
![]()
![]()
| Дано: схема системи (рис.1). Маси тіл системи: m1 =100 кг, m2=40 кг. Радіус тіла 2: R=0,1 м. Тіло 2 вважати однорідним циліндром. Обертальний момент: M=110 Н·м. Вагою стержнів ОА і ОВ знехтувати. | |||||||||||
Розв’язання (рис.2)
1.Покажемо на рисунку зовнішні сили, прикладені до механічної системи: сили ваги ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
. ,
4. Система координат показана на рис.2
5. Складемо рівняння рівноваги отриманої довільної плоскої системи сил:
,
, (1)
,
, (2)
,
(3)
6. Розв’яжемо отриману систему рівнянь і знайдемо шукані величини:
з рівняння (3): ,
м/с
з рівняння (2): Н.
з рівняння (1): Н.
Відповідь: = 2549,5 Н (стержень ОА - розтягнутий),
= -2944 Н (стержень ОВ - стиснутий).
Задача 2.
Визначити реакції зовнішніх в’язей механічної системи, що зображена на рис.1.
![]() | Дано: ОА – однорідний стержень. Маса стержня : m=20 кг. Довжина стержня: l= 0,6 м. В точці О – кульовий шарнір. |
рис.2
Розв’язання.(рис.2)
1. Покажемо на схемі зовнішні сили, що діють на стержень ОА: силу ваги ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | |
4. Головний вектор сил інерції:
![]() ![]() |
Згідно з принципом Даламбера ми отримали зрівноважену систему сил до якої можна застосувати рівняння статики.
6. Складемо рівняння рівноваги отриманої довільної плоскої системи сил (рис.2).
,
, (1)
,
, (2)
,
(3)
7. Розв’яжемо отриману систему рівнянь і знайдемо шукані величини:
з рівняння (3) Н,
,
рад/с,
з рівняння (1) Н,
з рівняння (2) Н.
Відповідь: = -84,9 Н,
= -196Н.
Зауваження.
Положення точки прикладення сили можна було визначити з таких міркувань: оскільки сума моментів паралельних сил інерції точок стержня відносно точки О дорівнює рівнодійній цих сил (рис.2 і рис.3), то
, (4)
де h– плече сили відносно точки О (рис.2);
– сила інерції елемента стержня довжиною
;
– координата елемента стержня (рис.3);
| ![]() ![]() ![]() |
Звідки: Порівняйте результат з показаним на рис.2.
Короткі відомості з теорії і методичні вказівки,