Особливі точки диференціальних рівнянь на площині
Розглянемо скалярне диференціальне рівняння
. (7.1)
Якщо 
в околі точки 
задовольняє умовам теореми Пікара, то через точку проходить лише одна інтегральна крива диференціального рівняння (7.1).
Припустимо, що функція в точці не є неперервною, то можливі випадки:
а) 
(А – деяке число);
б) 
;
в) f(x,y) – невизначена в точці .
Тоді перші два випадки зводяться до випадку, який розглядає теорема Пікара:
а) можна довизначити – 
;
б) замість диференціального рівняння (7.1) розглядати рівняння
(7.2)
і прийнявши 
знаходимо єдиний розв¢язок 
з вертикальною дотичною в точці .
У випадку в) точка називається ізольованою особливою точкою.
Дослідження особливих точок проведемо для диференціального рівняння
, (7.3)
де a , b , c , d – дійсні числа : ad - bc 
0 , так як в противному диференціальне рівняння (7.3) приводиться до рівняння 
.
Нас цікавить поведінка інтегральних кривих в околі точки 
. Перепишемо диференціальне рівняння (7.3) у вигляді
і перейдемо до системи
. (7.4)
Запишемо характеристичне рівняння 
.
Нехай 
– корені характеристичного рівняння. Розглянемо наступні випадки.
1. Корені дійсні , різні і одного знаку , тобто 
> 0, 
. Тоді система диференціальних рівнянь (7.4) має жорданову форму
. (7.5)
Звідси 
і, отже
. (7.6)
Якщо 
, тоді 
і всі криві (7.6) примикають до точки (0,0), тобто
 |
коли 
і розв¢язок дотичний в цій точці до осі 
(мал. 7.1).
 |
Мал. 7.1
В цьому випадку інтегральні криві дотичні тієї осі, якій відповідає мінімальне по абсолютній величині власне значення. Особлива точка – вузол.
Крім інтегральних кривих до особливої точки примикають дві полуосі осі 
, тобто 
.
2. Припустимо, що 
< 0. Тоді 
в даному випадку тільки чотири інтегральні корені 
примикають до особливої точки (0,0). Останні інтегральні криві мають вигляд, представлений на мал. 7.2.
 |
Мал. 7.2
Особлива точка – сідло.
3. 
– комплексні корені.
В цьому випадку, в силу довільності матриці перетворення до жорданової форми, елементи цієї матриці можна вибрати так, що 
, де u, w – дійсні змінні. Отже,
, (7.7)
.
Прирівнюючи дійсні і уявні частини, отримаємо диференціальне рівняння:
дійсні: 
;
уявні: 
.
З останньої рівності маємо
. (7.8)
Диференціальне рівняння (7.8) перепишемо у вигляді
.
Звідки 
,
. (7.9)
В (7.9) покладемо 
, тоді
. (7.10)
Формулою (7.10) задається сімейство логарифмічних спіралей (мал. 7.3).
 |
Мал. 7.3
В даному випадку всі інтегральні криві примикають до точки (0,0), роблячи нескінчену кількість оборотів. Така ж картина буде і в площині XOY. Особлива точка – фокус.
4. Корені уявні , тобто 
.Тоді криві (7.10) будуть замкнені, в площині (u,w) – будуть концентричні кола (мал. 7.4).
Особлива точка – центр.
 |
Мал. 7.4
5. Розглянемо випадок кратних коренів 
.
В цьому випадку жорданова форма матриці залежить від кратності елементарних дільників:
а) кореню 
відповідає два простих елементарних дільника, тобто 
=0. Тоді a=d=0 , b=c= 
. Отже
(7.11)
і y=cx (x 0), x=0 (y 0).
Ми отримали сімейство напівпрямих, які примикають до точки (0,0) (мал. 7.5).
 |
Мал. 7.5
Особлива точка – дикретичний вузол;
б) кореню відповідає елементарний дільник кратності 2, тобто =1 і матриця Жордана має форму 
. Отже, маємо систему диференціальних рівнянь
. (7.12)
Звідки
. (7.13)
Розв¢язок диференціального рівняння (7.13) запишемо у вигляді
. (7.14)
Крім (7.14) треба додати два розв¢язки 
( 
), 
( 
).
З (7.14) випливає, що інтегральні криві примикають до точки (0,0), кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює 
(мал. 7.6).
 |
Мал. 7.6
Особлива точка – вироджений вузол.