Двумерная случайная величина
Определение 10. Упорядоченная пара случайных величин (Х; Y) называется двумерной случайной величиной.
Определение 11. Возможным значением двумерной случайной величины (Х; Y) называется упорядоченная пара чисел вида (Х = xi; Y = yj), а ее вероятностью – вероятность события (Х = xi; Y = yj): pij = p(Х = xi; Y = yj).
Определение 12. Законом распределения двумерной случайной величины называется перечень возможных значений (xi; yj) этой величины и их вероятностей pij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).
Обычно двумерное распределение задается в виде таблицы
 Y
X
| Y = y1 | Y = y2 | … | Y = yn |
| X = x1 | p11 | p12 | … | p1n |
| X = x2 | p21 | p22 | … | p2n |
| … | … | … | … | … |
| X = xm | pm1 | pm2 | … | pmn |
Так как события (Х = xi; Y = yj), где i = 1,2,…, m и j = 1,2,…, n, образуют полную группу, то сумма вероятностей pij в данной таблице равна 1.
Безусловные вероятности дискретных компонент Х и Y находятся по формулам
(10)
Для условных вероятностей компонент Х и Y справедливы формулы:
(11)
Математические ожидания компонент Х и Y находятся следующим образом:
(12)
Определение 13. Ковариацией (корреляционным моментом) компонент Х и Y называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий:
(13)
| |
(суммирование производится по всем возможным парам индексов ij).
Пусть дана случайная величина Z = X + Y. Тогда математическое ожидание
M(Z) = M(X) + M(Y), (14),
а дисперсия
D(Z) = M(Z 2) – M 2(Z). (15)
Задача. Дана дискретная двумерная случайная величина 
= (Х; Y). Найти:
1) безусловные законы распределения компонент Х и Y;
2) математические ожидания составляющих компонент M(X), M(Y) и центр рассеяния 
; ковариацию компонент cov(X, Y);
3) условный закон распределения X при Y = 1 и найти M (X /Y = 1);
4) закон распределения случайной величины T = 3X + 1, математическое ожидание M(T) и дисперсию D(T);
5) закон распределения случайной величины Z = X + Y; математическое ожидание M(Z) и дисперсию D(Z);
6) построить график интегральной функции распределения F(Z) случайной величины Z.
| X \ Y | y1 = –1 | y2 = 0 | y3 = 1 |
| x1 = 1 | 0,05 | 0,2 | |
| x2 = 2 | 0,1 | 0,1 | 0,1 |
| x3 = 3 | 0,1 | 0,15 | |
| x4 = 4 | 0,05 | 0,15 |
Решение.
1) Согласно (10), складывая вдоль строк (по индексу j) и вдоль столбцов (по индексу i), получим безусловные вероятности соответствующих значений xi и yj случайных компонент вектора . Безусловные законы распределения этих компонент представим в виде таблиц:
| X | ||||
| p(X) | 0,25 | 0,3 | 0,25 | 0,2 |
| Y | –1 | ||
| p(Y) | 0,25 | 0,3 | 0,45 |
2) Согласно (12) и результатам пункта 1 математическое ожидание компонент:
M(X) = 1×0,25 + 2×0,3 + 3×0,25 + 4×0,2 = 2,4;
M(Y) = –1×0,25 + 0×0,3 + 1×0,45 = 0,2.
| |
.
Найдем «исправленное» среднее квадратическое отклонение 
, учитывая, что
Найдем наблюдаемое значение критерия:
Табулированное значение tдвуст.кр.(a = 0,05; k = n – 1) = 2,57.
Так как 
– нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Другими словами, средние результаты измерений различаются незначимо.
| |
- «исправленное» среднее квадратическое отклонение.
Правило. Для того чтобы при заданном уравнении значимости a проверить нулевую гипотезу 
о равенстве двух средних нормальных совокупностей X и Y с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипотезе 
, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:
и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости 
, помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n – 1 найти критическую точку 
. Если 
– нет оснований отвергать нулевую гипотезу. Если 
– нулевую гипотезу отвергают.
Задача. Двумя приборами в одном и том же порядке измерены шесть деталей и получены следующие результаты измерений (в сотых долях миллиметра):
| ||||||
| ||||||
| – 8 | –1 |
При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо различаются результаты измерений, в предположении, что они распределены нормально.
Решение. Найдем разности 
, вычитая из чисел первой строки числа второй.
Найдем выборочную среднюю, учитывая, что 
: 
| |
Согласно (13) для нахождения ковариации компонент вектора 
надо знать M(XY). Используя исходную таблицу и опуская слагаемые, содержащие равные 0 множители, получим:
M(XY) = –1×2×0,1 –1×3×0,1–1×4×0,05+1×1×0,2+1×2×0,1+1×4×0,15 = 0,3.
Следовательно, cov(X, Y) = M(XY) – M(X)×M(Y) = 0,3 – 2,4×0,2 = – 0,18.
3) Согласно (11) и результатам пункта 1 получим условные вероятности
Таким образом, условный закон распределения случайной компоненты X при Y = 3 можно представить таблицей:
| X | ||||
| p(X /Y = 1) | 0,45 | 0,22 | 0,33 |
(столбец с вероятностью равной 0 можно опустить).
Найдем математическое ожидание
M (X /Y = 1) = 1×0,45 + 2×0,22 + 3×0 + 4×0,33 = 2,21.
4) Значения случайной величины T = 3X + 1 получаются при подстановке значений случайной величины X в формулу для Т; а их вероятности совпадают с соответствующими вероятностями значений случайной величины Х:
| Т | ||||
| р(Т) | 0,25 | 0,3 | 0,25 | 0,2 |
Найдем М(Т) и D(T):
5) Для определения закона распределения случайной величины Z = X + Y предварительно составим таблицу возможных значений Z, задаваемых значениями xi + yj, и вероятностей этих значений, равных p(Х=xi; Y=yj)= pij:
| |
| xi | ||||||||||||
| yj | –1 | –1 | –1 | –1 | ||||||||
| xi + yj | ||||||||||||
| pij | 0,1 | 0,1 | 0,05 | 0,05 | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,1 | 0,15 |
Упорядочим запись закона распределения случайной величины Z, причем вероятности одинаковых значений необходимо сложить:
| Z | ||||||
| p(Z) | 0,15 | 0,4 | 0,3 | 0,15 |
(столбцы с нулевыми вероятностями можно опустить).
Найдем M(Z) и D(Z):
M(Z) = 1×0,15 + 2×0,4 + 3×0,3 + 5×0,15 = 2,6 или
M(Z) = М(X + Y) = M(X) + M(Y) = 2,4 + 0,2 = 2,6;
D(Z) = 12×0,15 + 22×0,4 + 32×0,3 + 52×0,15 – 2,62 = 1,44.
6) Используя полученный закон распределения случайной величины Z, построим график (рис. 3) интегрального закона распределения F(z)=p(Z<z) с учетом того, что функция F(z) принимает значения:
 |