V. Підведення підсумків уроку

Хід уроку

І. Організаційний момент: перевірка присутніх на уроці та оголошення теми уроку.

ІІ. Самостійна робота:

Варіант 1

1. Побудуйте графік функції у = sin х на проміжку [0; 2] та знайдіть:

а) значення у, якщо х = ;

б) значення х, якщо у = -1. (3 бали)

2. Знайти значення sin та cos 12. (3 бали)

3. Виразіть в радіанній мірі кути: 540о, 720о. (3 бали)

4. Знайдіть значення tg і ctg для числа . (3 бали)

Варіант 2

1. Побудуйте графік функції у = cos х на проміжку [0; 2] та знайдіть:

а) значення у, якщо х = ;

б) значення х, якщо у = -1. (3 бали)

2. . Знайти значення sin та cos 13. (2 бали)

3. Виразіть в радіанній мірі кути: 1080о, 1260о (3 бали)

4. Знайдіть значення tg і ctg для числа · (3 бали)

ІII. Мотивація навчання.

Дуже часто при розв'язуванні задач виникає проблема: зна­йти значення тригонометричних функцій, якщо задано лише зна­чення однієї з них. Отже, на сьогоднішньому уроці ми повинні згадати формули (залежності), які пов'язують тригонометричні функції одного і того самого аргументу.

IV. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу.

1. Співвідношення між синусом і косинусом.


Нехай точка (х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р0(1; 0) на кут радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos , у = sin (рис. 100)

Оскільки точка Р(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х2 + у2 = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos і sin , отримаємо:

(cos )2 + (sin )2 = 1 або (враховуючи, що (cos )2 = cos2, (sin )2 = sin2 )) cos2 + sin2 = 1.

Таким чином, sin2 + cos2 = l для всіх значень . Ця рівність називається основною триго­нометричною тотожністю.

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin через cos і навпаки. , .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) cos = і sin = ; б) sin = - і cos = - ; в) sin = і cos = - .

при одному і тому самому значенні ?

Відповідь: а) ні; б) так; в) так.

2. Знайдіть cos , якщо sin = 0,6 і < < . Відповідь: cos = -0,8.

3. Знайдіть sin , якщо cos = і < < 2. Відповідь: sin = - .

4. Спростіть вирази:

а) 1 + sin2 + cos2 ; б) 1 – sin2 – cos2 ; в) 2sin2 + cos2 – 1;

г) (1 – cos )(l + cos ); д) ; є) sin4 – cos4 + 1.

Відповідь: а) 2; 6) 0; в) sin2 ; r) sin2 ; д) tg2; є) 2sin2.

5. Доведіть тотожності:

а) (1 – cos 2)(l + cos 2) = sin2 2; 6) cos4 – sin4 = cos2 – sin2 ;

в) (sin2 – cos2 )2 + 2cos2 sin2 = sin4 + cos4 ;

r) 2cos2 sin2 + cos4 + sin4 = 1; д) sin6 + cos6 = 1 – 3sin2 cos2;

є) .

6. Знайдіть cos , якщо cos4 – sin4 = .

Відповідь: cos = ± .

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом. Згідно з визначенням тангенса і котангенса

, .

Перемноживши ці рівності, одержимо

Отже, tg · ctg = l для всіх значень , крім = , k, k . із одержаної рівності можна виразити tg через ctg і навпаки: ; .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

a) tg = і ctg = ; б) tg = і ctg = ; в) tg = - і ctg = 2

при одному і тому самому значенні ?

Відповідь: а) так; б) ні; в) ні.

2. Знайдіть

а) tg , якщо ctg = ; б) ctg , якщо tg = -1; в) tg , якщо ctg = 0.

Відповідь: а) ; б) -1; в) не існує.

3. Дано: х = 2tg , у = ctg . Знайдіть ху.

Відповідь: ху = .

4. Дано tg + сtg = 2. Знайдіть tg 2 + сtg2 .

Відповідь: 2.

5. Спростіть:

а) tg · сtg – 1; б) sin2 – tg · сtg ; в) tg 1° · tg 3° · tg 5° · ... · tg 89°.

Відповідь: а) 0; б) – соs ; в) 1.

6. Доведіть тотожності:

а) (tg + сtg )2 - (tg - сtg )2 = 4; б) ;

в) ; г) ;

є) 4 + (сtg - tg )2 = (сtg + tg)2.

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і си­нусом.

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 + соs2 = 1 на соs2, вважаючи, що соs2 0, одержимо:

; ,

звідси: , де .

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 + соs2 = 1 на sіn2 , вважаючи, що sіn 0, одержимо

; ,

звідси: , де .

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності.

а) tg = і соs = ; б) сtg = 1 і sіn = ; в) tg = і sіn = при одному і тому ж значенні ?

Відповідь: а) ні; б) так; в) ні.

2. Відомо, що tg = 2 і . Знайдіть sіn , соs і сtg .

Відповідь: sіn = ; соs = ; сtg = .

3. Відомо, що sіn = і 0 < < . Знайдіть соs , tg , сtg .

Відповідь: соs = ; tg = ; сtg = .

4. Відомо, що сtg = -3 і — кут IV чверті. Знайдіть sіn , соs , tg.

Відповідь: sіn = ; соs = ; tg = .

5. Відомо, що соs = і — кут І чверті. Знайдіть sіn , tg , сtg .

Відповідь: sіn = ; tg = ; сtg = .

6. Спростіть вираз:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; є) .

Відповідь: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) ; є) tg .

7. Доведіть тотожності:

а) ; б) (1 – сtg )2 + (1 + сtg )2 = ;

в) ; г) .

V. Підведення підсумків уроку.

VI. Домашнє завдання.

Розділ IІ § 7 ст. 120-125. Вправи № 32 (а, б, в, д), № 36 (а).