Основні означення, необхідна умова збіжності ряду

 

Нехай задана послідовність дійсних чисел . Числовим рядом називається послідовність дійсних чисел .

Числа та називаються відповідно м членом (загальним членом) та частковою сумою ряду.

Границя послідовності часткових сум ряду, якщо вона існує і скінчена, називається сумою ряду та позначається символом . Ряд, що має суму, називається збіжним. Не збіжний ряд називається розбіжним.

 

Як ми бачимо, на відміну від теорії послідовностей, послідовність часткових сум може збігатися до нескінченності (тобто в наших визначеннях з теорії послідовностей бути збіжною), але відповідний числовий ряд вважається розбіжним. Дуже рідко, в особистих випадках, про такий ряд можемо сказати, що він збігається до нескінченності.

 

З означення ряду слідує, що будь-яка послідовність дійсних чисел може розглядатися як деякий ряд, членами якого є числа .

 

Приклад 1. Дослідити на збіжність ряд , де: а) ; б) ; в) .
а) ряд збіжний та має суму ; б) ряд розбіжний (збігається до нескінченності, але цей термін вживається дуже рідко); в) послідовність - розбіжна, а тому й ряд - розбіжний.

 

Теорема 1. (Необхідна умова збіжності ряду)
Якщо ряд збігається, то послідовність його загальних членів прямує до нуля.

Доведення. Якщо - збіжний, то послідовність його часткових сум має границю, позначимо її як . Але тоді .

Теорема доведена.

 

Теорема 2. (Критерій Коші)
Ряд збігається тоді і тільки тоді, коли : .

Доведення теореми безпосередньо слідує із застосування критерію Коші для послідовності часткових сум .

 

Вже тут можна побачити, що багато тверджень можна формулювати як в термінах теорії послідовностей так і в термінах теорії рядів. Один з прикладів вже наведений вище – це критерій Коші. Наведемо невелику таблицю, в якій терміни, що відповідають один одному в цих теоріях, наведені в одному рядку.

 

Теорія рядів Теорія послідовностей
Ряд Послідовність
Член ряду Різниця між членами послідовності
Часткова сума ряду Член послідовності
Сума ряду Границя послідовності
Збіжний ряд Збіжна послідовність
Згрупований ряд Підпослідовність
Сума згрупованого ряду Часткова границя послідовності
Ряд, що задовольняє умову Коші Фундаментальна послідовність
Ряд, що має обмежені часткові суми Обмежена послідовність
Ряд з невід’ємними (додатними) членами Неспадна (зростаюча) послідовність

 

Цю таблицю далі можна буде розширити, при поглибленні вивчення теорії рядів. Крім того її можна продовжувати далі штучним чином. Вільний перехід з однієї мови на іншу в деяких випадках може повністю або частково спростити доведення тієї чи іншої теореми.

 

Приклад 2. З’ясувати, чи можна в довільному ряді згрупувати доданки таким чином (тобто, не міняючи порядку членів ряду, розставити дужки), щоб одержаний ряд мав суму в ?
Безпосереднє доведення цієї теореми в теорії рядів досить не проста задача, але тепер пере формулюємо цю теорему в термінах теорії послідовностей.
  Чи можна з довільної числової послідовності виділити підпослідовність, що збігається в ?  
Ну а це вже відома теорема з теорії послідовностей, відповідь на це запитання позитивна, а тому й відповідь на перше запитання також позитивна. Таким чином теорема доведена.

 

Однак цілком зрозуміло, що є твердження, які природніше формулювати в термінах лише однієї мови, або навіть вони зовсім не формулюються в термінах іншої мови. Одним з прикладів такого твердження є теорема Рімана, з якою ми познайомимось пізніше. Будуть також твердження, що формулюються на мішаній мові, тобто з використанням термінології теорії рядів та теорії послідовностей, наприклад, теореми Абеля та Діріхле.

 

Ряд називається залишком ряду .

 

Наслідок. (Про залишок числового ряду)
Ряд збігається чи розбігається одночасно з своїм залишком. Якщо ряд збігається, то його залишок збігається до нуля.

Доведення. Якщо ряд збіжний і його сума , тоді , де послідовність як раз і є залишком цього ряду. З відомої теореми з теорії послідовностей слідує, що . Аналогічно розглядається випадок розбіжного ряду.

Наслідок доведено.

 

Із зв’язку рядів та послідовностей легко доводиться наступна теорема.

 

Теорема 3. (Лінійність збіжних рядів)
Нехай ряди та збігаються, , тоді ряд також збігається, та для його суми виконується рівність: .