Гиперболический параболоид
Определение.Поверхность, которая в декартовой системе координат определяется уравнением: 
(12.7)
Называется гиперболическим параболоидом.
Исследуем уравнение (12.7).
Рассмотрим сечение плоскостью 
, т.е. 
.
- парабола симметрична относительно оси 
с вершнами в начале координат. Теперь рассмотрим сечения (12.7) плоскости, параллельной 
.
- парабола, ветви которой направлены вниз и симметрично относительно . Все эти параболы будут находится, вершинами на восходящей параболе 
, и как бы перемещаться вершиной по линии предыдущей параболы. Сечение гиперболического параболоида плоскостями, параллельными 
.
- гипербола, симметричная относительно плоскостей 
.
Вывод: Гиперболический параболоид имеет форму седла, обладает двумя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии. Точка, с которой совмещено начало координат называется вершинойгиперболического параболоида. Числа 
называются его параметрами.
Конус
Определение. Поверхность, которая определяется уравнением:
(12.8)
состоит из прямых, проходящих через одну точку, именно, через начало координат и называется конусом.
Заметим, что (12.8) однородно, все его члены имеют одну и ту же степень 2. Точка 
.
Теорема:Если некоторая точка 
лежит на поверхности (12.8), то все точки прямой, которые проходят через начало координат и точку М, также лежат на этой поверхности.
Прямые, из которых составлен конус, называются его образующими 
- вершина. Проведем сечение 
.
- эллипс с полуосями 
.
Если 
, то в сечении окружность и называется круглым конусом. Рассмотрим уравнение: 
(12.9)
Это уравнение определяет единственную действительную точку 
. Однако, ввиду аналогии с уравнением (12.8) его часто называют мнимого конуса.
| №/п | Рисунок | Название поверхности | Уравнение поверхности |
| Эллипсоид | 
| |
| Мнимый эллипсоид | 
|
| Однополостный гиперболоид | 
| |
| Двухполостный гиперболоид | 
|
| Эллиптический параболоид | 
| |
| Гиперболический параболоид | 
|
| Конус |
| |
| Мнимый конус |
|
Обобщённая таблица по теме: «Плоскость. Прямая в пространстве»