Обоснование и разработка математической модели бесцентрового измерения круглости
Главная особенность бесцентрового измерения состоит в том, что показания датчика прибора связаны со значением фактического отклонения от круглости нелинейной зависимостью, то есть имеется систематическая погрешность. Эта погрешность обусловлена самой схемой измерения и не может быть полностью исключена конструктивным решением или математической обработкой данных. Сущность процесса измерения состоит в том, что деталь базируется по граням призмы непосредственно измеряемой поверхностью. Поэтому погрешность базирования приводит к изменению положения центра профиля детали и соответственно расстояния до измерительного датчика. Эти изменения прибор воспринимает так же, как и отклонения формы поверхности. Конкретный прибор с фиксированными значениями угла призмы и положения датчика имеет различную погрешность измерения для разных гармонических составляющих профиля детали. Поскольку профиль детали описывается суперпозицией гармоник с отличными амплитудами и начальными фазами, то минимизация систематической погрешности измерения есть сложная математическая задача.
Известная математическая модель бесцентрового измерения, описанная в работе [6], предполагает неизменность точек контакта детали с гранями призмы в процессе контроля. Приведенные зависимости справедливы только для отдельных гармоник, так как не учитывают их начальные фазы, что не позволяет корректно использовать принцип суперпозиции. Полученные по данной модели результаты носят частный характер, что делает затруднительным их использование на практике.
Предлагается новая модель бесцентрового измерения круглости более высокой степени адекватности реальному процессу, ориентированная на использование численных методов и гармонического анализа. Математическое описание процесса измерения рассматривается в три этапа: нахождение центра средней окружности профиля детали после базирования (для каждого текущего положения), определение радиусов измеренных датчиком точек профиля, результирующий расчёт круглости по измеренным точкам.
В работе [7] показано, что поперечный профиль детали наилучшим образом описывается тригонометрическим полиномом. Значения амплитуд и начальных фаз гармоник получают на основе гармонического анализа профилей реальных деталей. Поэтому становится возможным смоделировать как профиль конкретной деталей, так и профили определенной партии деталей. В полярной системе координат профиль задается следующим образом:
, (1)
где R – радиус средней окружности; an, jn – амплитуда и начальная фаза n-й гармоники; р – наибольшее учитываемое число гармоник; j – полярный угол.
На первом этапе определяют погрешность базирования, которая представляет собой отклонение фактически достигнутого положения детали от положения номинально цилиндрической детали радиуса R без отклонений формы. При этом в поперечном сечении детали требуемое положение её центра (точка 0) однозначно определено радиусом R и углом призмы a (рис. 2).
Уравнение прямолинейной грани призмы в полярной системе координат:
, (2)
где l – угол, задающий перпендикуляр к грани (для левой грани l1 = 180° + a/2; для правой грани l2 = 360° - a/2).
Точками контакта детали с гранями призмы будут точки на профиле, которые наиболее близко расположены к граням призмы. Найдем зазор D¢ и полярный угол g между гранью и деталью в исходном положении с помощью численной процедуры:
. (3)
По результатам нахождения максимума функционала (3) определяются углы g1, g2, и зазоры 
, 
для каждой грани призмы при текущем угле поворота детали.
Считаем, что деталь одновременно и постоянно находится в точечном контакте с обеими гранями призмы. Поэтому при отклонении формы в точках контакта деталь смещается по направлениям углов g1 и g2, а фактическое смещение происходит вдоль граней призмы. Таким образом, деталь последовательно перемещается по граням призмы на величины D1 и D2, которые представляют собой проекции и :
(4)
Положение центра 01 детали после базирования находится векторным сложением смещений D1 и D2:
(5)
На втором этапе определяем радиусы r2 измеренных точек профиля детали после базирования. Исходными данными являются координаты (D, n) центра средней окружности профиля, полученные на первом этапе, и радиусы ri точек профиля детали.
Вначале следует пересчитать координаты профиля детали в декартову систему координат с учетом смещения центра:
(6)
Для определения зависимости между радиус-векторами r2 и r целесообразно воспользоваться численным методом. Так как измерительный датчик может перемещаться только вдоль прямой, заданной углом b, то он регистрирует точку, наиболее близко расположенную к данной прямой. Поэтому задача сводится к поиску точки профиля, имеющей кратчайшее расстояние d до прямой перемещения датчика:
® min, (7)
где xi, yi – декартовы координаты i-й точки профиля детали.
По результатам минимизации функционала (7) находится радиус r2 для каждого текущего углового положения детали.
В результате расчётов по формулам (1) – (7) получаем измеренный профиль в декартовой системе координат. Преобразуя координаты из декартовой в полярную систему, строим искомую круглограмму.
На третьем этапе определяют отклонение от круглости – максимальное расстояние от точек профиля до базовой окружности. Наиболее просто отклонение от круглости находится для средней окружности [8]. Если центр средней окружности круглограммы совпадает с началом системы координат, то отклонение от круглости – это разность максимального и минимального радиусов. В противном случае требуется дополнительно определить координаты центра средней окружности, а затем – отклонение от круглости. Для нахождения отклонения от круглости от прилегающих окружностей или по зоне минимальной ширины можно воспользоваться методиками, изложенными в работах [9, 10].