Используя центральную предельную теорему, обоснуйте интегральную формулу Лапласа
Интегральная приближенная формула Лапласа:
Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает событие A. Рассмотрим случайную величину Sn –число наступлений события А в n опытах. Очевидно, Sn= X1+ X2+ …+ Xn, где Хk обозначает число наступлений события А в k-ом опыте, k = 1, 2, …, n. Случайные величины Хk имеют один и тот же закон распределения, так что они удовлетворяют условию Ляпунова. Тогда
. (1)
Это равенство носит название интегральной предельной теоремы Лапласа. Из него следует интегральная приближенная формула Лапласа:
Событие 
равнозначно условию 
. Положим k1= 
, k2= 
, так что 
.
Теперь левую часть формулы (1) можно записать в виде:
, правую: 
, где Ф(х) – функция Лапласа, которую можно представить как 
. Приравнивая выражение, стоящее под знаком предела к данному, получаем приближенное равенство
.
26) Докажите, что для генерального распределения с математическим ожиданием m и конечной дисперсией σ2 выборочное среднее является несмещенной и состоятельной оценкой m.
Выборочное среднее¯x=1/n*Σxn является несмещённой состоятельной оценкой математического ожидания m.
Арифметическая средняя 
, вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной x, которая имеет математическое ожидание Mx = m, является несмещенной оценкой этого параметра.
Док-во:
Пусть 
- n независимых наблюдений над случайной величиной x. По условию Mx = m, а т.к. 
являются случайными величинами и имеют тот же закон распределения, то тогда 
. По определению средняя арифметическая
.
Рассмотрим математическое ожидание средней арифметической. Используя свойство математического ожидания, имеем:
,
т.е. 
. является несмещенной оценкой.
Арифметическая средняя 
, вычисленная по n независимым наблюдениям над случайной величиной x, которая имеет Mx = m и 
, является состоятельной оценкой этого параметра.
Док-во:
Пусть - n независимых наблюдений над случайной величиной x. Тогда имеем Mx = 
.
Для средней арифметической запишем неравенство Чебышева:
.
Используя свойства дисперсии имеем:
,
т.к. по условию теоремы 
.
Следовательно,
Итак, дисперсия средней арифметической в n раз меньше дисперсии случайной величины x. Тогда
,
поэтому
,
а это значит, что является состоятельной оценкой.
27) Пусть X1,…Xn – выборка из распределения с дисперсией s2. Док-те, что 
- несмещенная оценка s2.
Пусть Zn = (x1…xn) – случ выборка объема n, тогда исправленной выборочной дисперсией называется величина s2=n/(n-1) 
. Следствие: S2 – несмещенная оценка s2.
M(S2)=M(n/(n-1) 
) = n/(n-1) M( ) = n/(n-1) * (n-1)/n * s2 = s2, т.к.
M( )= 
.
