Модель с дискретным временем
Примем для начала, что величина х , ..., x
стабильна; это делает процесс возникновения погрешностей одномерным процессом с временем в качестве аргумента. При экспериментальном определении функций g(T) и h(T) обобщенная модель может иметь вид:
Z =
φ
+
γ
. (3.96)
Здесь φ , γ
— постоянные коэффициенты модели, t — время, индекс t нумерует дискретные моменты времени, кратные некоторому постоянному периоду времени ∆T,
, i, j — текущие индексы,
— сокращенная запись значения переменной (погрешности ∆) в момент t - i∆T, т. е.
= =Z(t - i∆T), e
— стационарный случайный процесс, описываемый уравнением e
= at - θ
a
- ... - θ
a
, где at — белый шум со средним значением, равным нулю, и с постоянной дисперсией σa2.
Переменная Zt имеет две составляющие: случайную Z ' и детерминированную — Zt", при этом
Zt = Z ' + Zt", (3.97)
Z ' =
φ
+ et (3.98а)
и
Zt" = γ
. (3.986)
Случайная составляющая Z ' соответствует модели случайной погрешности, свойства которой выражает g{ε}, а систематическую погрешность, описываемую функцией h, характеризует переменная Zt".
На основе экспериментальных данных Zt в интервале времени можно определить коэффициенты φ
, γ
. Для демонстрации некоторых особенностей модели рассмотрим разностное уравнение, отвечающее случаю р = 1 (а также r = 1), т. е.
Zt' = φ Z
' + a
- θ
. (3.99)
Процесс Zt' стационарен при условиях
- 1 < φ < 1, - 1 < θ
< 1. (3.100)
После умножения уравнения (3.99) на Zt' и вычисления среднего значения имеем
σ² = φ
K
(1) + K
(-1). (3.101)
Умножив (3.99) последовательно на Z ', a
, a
и, вычислив средние значения, получим систему уравнений, которая дает
σ² =
= K
(0), (3.102а)
ρ = K
(1)/K
(0) = (1 - φ
θ
)(φ
- θ
)/(1 + θ
² - 2 φ
θ
), (3.1026)
ρ = K
(2)/K
(0) = φ
ρ
. (3.102в)
Коэффициенты корреляции можно рассчитать непосредственно по значениям Zt' для t = l, ..., N. В зависимости от значений коэффициентов дифференциального уравнения коэффициент корреляции уменьшается апериодически либо осциллятивно до нуля по мере увеличения временного сдвига, как показано на рис. 3.17[13].
Рис. 3.17. Характер корреляционной функции временного ряда в зависимости от значений коэффициентов модели
Итог
Вышеприведенную модель свойств погрешности можно трактовать следующим образом. Существует случайная составляющая погрешности, характеризующаяся коррелированным во времени случайным стационарным процессом в период наблюдения Т0. При этом для t > t коэффициент корреляции имеет нулевое значение. Кроме того, существует детерминированная составляющая, описываемая функциями g(T), h(T). В шкале времени эксплуатации Т случайная составляющая погрешности может истолковываться как белый шум. В шкале времени измерений t необходимо учитывать корреляцию случайной составляющей (цветной шум) и изменение среднего значения погрешности h(T), а также дисперсии g(T). Шкала времени определяется двояко — координатой t, а также координатой Т, причем t
T.
Характеристики трехмерных (и более) нестационарных процессов можно определить теми же понятиями по определениям (3.88) —(3.90), соответственно увеличивая число экспериментов либо упрощая модель (3.88), например, принимая g = const.