Вопрос 2. Математические модели индивидуального и коллективного риска. Биномиальная модель

В имущественном страховании используется два основных типа моделей: модель индивидуального и коллективного риска. В модели индивидуального риска рассматривается полисов с независимыми выплатами . Ее характерными чертами являются сравнительно короткий промежуток времени для адекватного применения модели, а также фиксированное и неслучайное количество договоров . В модели коллективного риска по одному полису допускается более одной выплаты, количество подаваемых исков заранее неизвестно, а рассматриваемая модель носит динамический характер, когда процесс подачи исков "растянут" во времени.

Зададим некоторое вероятностное пространство и введем следующие понятия:

· – начальный капитал страховой компании.

· Неубывающая последовательность случайных величин – моменты наступления отдельных исков от клиентов, – время между наступлениями исков.

· Общее количество поданных исков к моменту времени : , при этом .

· Последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин определяет возможный размер исков в момент с функцией распределения , .

· Процесс риска определяет суммарные выплаты по искам к моменту , , если .

· – величина всех премий, полученных к моменту времени .

· определяет капитал компании к моменту .

Процессы и считаются независимыми. Если , то говорят о страховых моделях дискретного времени, если – о моделях непрерывного времени.

Согласно актуарной традиции мерой платежеспособности, или финансовой состоятельности компании,выбирается вероятность неразорения (соответственно, на бесконечном и конечном промежутке времени):

для всех

Поскольку договор страхования предполагает передачу того или иного риска от клиента к компании, то гарантировать исполнение своих обязательств компания может лишь в случае, когда в среднем поступающие премии больше средних выплат по искам:

M(П(t))= M(R(t))

Данное соотношение предполагается выполненным для всех рассматриваемых ниже моделей. Распространенным принципом начисления премий является принцип математического ожидания, когда выбирается некоторое число , называемое коэффициентом нагрузки, и полагается .

Введенные выше вероятности зависят не только от временного промежутка функционирования страховой компании и начального капитала, но и от "внутренних" параметров процессов и . Тем не менее, ключевой является зависимость именно от времени и начального капитала . По этим параметрам удается получать уравнения интегрального (разностного) и интегро-дифференциального типа для нахождения вероятностей неразорения, что позволяет производить количественный финансовый анализ экономической деятельности страховой фирмы.

Часто поиск явного аналитического выражения для решения представляет существенные технические трудности, а получаемые при этом формулы неудобны для дальнейшего анализа. В такой ситуации оказывается полезным иметь адекватные апроксимации для вероятности неразорения.

Рассмотрим биномиальную модель:

· – биномиальный процесс, т. е. представим как сумма бернуллиевских случайных величин с некоторой вероятностью успеха ;

· (детерминированные премии);

· – сложный биномиальный процесс.

В качестве процесса премий может рассматриваться независимый от другой сложный биномиальный процесс . Тогда капитал компании имеет вид

Это означает, что в каждый момент времени независимым от прошлого образом с некоторой вероятностью компания получает, вообще говоря, случайную премию , и с некоторой вероятностью вынуждена выплачивать величину .

В случае целочисленных процессов для вероятностей неразорения могут быть получены разностные уравнения, которые удается разрешить аналитически для некоторых типов распределений премий и исков. В общем случае оценивание вероятности неразорения может проводиться с помощью техники мартингалов дискретного времени:

если – положительное решение характеристического уравнения

(в терминах функций распределения и случайных величин и это уравнение переписывается в виде

то – мартингал и .