Интегральные суммы и суммы Дарбу

Практикум 1. Интегрирование

Неопределённый интеграл. Определённый интеграл.

Символическое и численное интегрирование.

Здравствуйте, меня зовут Жакрова Надежда Владимировна. Я у вас буду вести мат.ан и МАТЛАБ.

Свои комментарии к заданию я буду выделять «Ж:».

Мы также сможем общаться с вами через форму сайта www.numlock.ru.

Мой ник: abshope.

Также я буду вести электронный журнал учета успеваемости в документах Google/https://docs.google.com/.

Позже на www.numlock.ru. я выложу ссылки к вашим журналам.

 

Ж: Оригинал Практикума 1(оно расчитано на 2 занятия) выложен без изменений. Я предлагаю адаптированную версию этого задания.

Итак, за сегодняшнее занятие необходимо сделать пункты 1 и 2.

На второй странице дано ДЗ1 на ЧЕТВЕРГ. (для групп МП-11,17)

1. Символьное вычисление неопределённого интеграла.Неопределённые интегралы от символических функций вычисляются с помощью int, входными аргументами указываются символическая функция и переменная, по которой ведётся интегрирование.

Пример 1.

>> syms x; f=sym('x^3*exp(x)'); I=int(f,x)

I =

x^3*exp(x)-3*x^2*exp(x)+6*x*exp(x)-6*exp(x)

>> pretty(I)

Упражнение 1. Вычислить неопределённые интегралы:

а) б) в)

Последний интеграл вычислить без использования MatLab, вывести формулу для функции, обратной гиперболическому синусу.

Ж: Замечание к Упражнению 1

Разумеется, все интегралы нужно посчитать вручную в тетради и показать. Затем сравнить результаты с теми, что выдает MatLab.

Для задачи под пунктом б) попробуйте взять аналогичные, но более простые примеры: = , ,

.

При вычислении интеграла б) вручную, нужно будет подынтегральную функцию разложить на множители. Для определения коэффициентов разложения можно составить систему и решить ее по формулам Крамера. Попробуйте также с помощью функции int(f,x) найти этот интеграл, подставляя вместо f то, что дано, и f, разложенную на простейшие множители.

В отчете прокомментируйте результаты выдаваемые MatLab .

Для задачи в) обязательно сначала посчитать интегралы , , вручную, затем вывести формулу для функции обратной гиперболическому синусу : .

Напоминаю, что .

Затем только вычислите эти интегралы с помощью int и сравните результаты.

Символьное вычисление определённого интеграла.При вычислении определённого интеграла в символьном виде следует задать значения нижнего и верхнего предела в качестве нижнего и верхнего предела в int(f,x,a,b).

Упражнение 2. Вычислить определённые интегралы в символьном виде:

а) б) в)

Ж: В упражнении 2 сначала все посчитать вручную,

в пункте б) ответ должен быть pi/2, если MatLab выдает не символьное решение, а численное, то введите >> syms pi и снова посчитайте интеграл.

Следующую тему мы будем разбирать на 2-ом занятии, но попробуйте к ней подготовиться. На лекции вам начитают соответствующий материал. Или вы можете найти определения в книгах. В любом случае из всего, предложенного в оригинале задания уже к четвергу (у нас будет обычное занятие и вам это все равно на нем нужно будет это знать!)

 

Интегральные суммы и суммы Дарбу.

Упражнение 3. Создать М-функции, вычисляющие значения интегральных сумм на отрезке с равномерным разбиением на отрезков для точек, взятых на:

а) левом, (к четвергу!)

Для самопроверки понимания понятия интегральной суммы и проверки работы М-функции возьмите функцию на отрезке при

И для этой же функции выполните часть Упражнение 4. : Создать М-функцию, вычисляющую значение нижней суммы Дарбу на отрезке с равномерным разбиением на отрезков.

Вычислите также интеграл и сравните с результатами, полученными через подсчет интегральной суммы.

В задачнике – это номер 7.320. Там же есть и теория. Но примеры 1 и 2, разбираемые в задачнике отличаются от того, что нужно сделать в Практикуме 1. Но понимать их все равно надо!

(остальное будем делать на 2-ом занятии)

Если М-функции не получится создать, то сделайте эту задачу вручную для к четвергу обязательно.

Также нужно сделать номера:7.356-7.363 (нечетные).

7.381,

7.455,7.478(сделать рисунок),7.484 (сделать рисунок), найти также площадь всех лепестков кривой . Внимание: у нас принято, что в полярной системе координат . Поэтому количество лепестков у n-лепестковой розы соответствует n.

7.493,7.503, для задачи 7.484 найти длину кривой!

 

К понедельнику: М-функции, проверить работу М-функций для функциий на отрезке и , на отрезке для различных Найдите также соответсвующий интеграл, сравните результат.

(остальное будем делать и обсуждать на 2-ом занятии в понедельник 20 февраля и сдавать 27 февраля. )

б) правом конце элемента разбиения;

с*) делящих их в произвольном заданном отношении

Проверить работу М-функции для функции на отрезке при разбиении его на два равных элемента, пункт с) – деление отрезка пополам.

Упражнение 4. Создать М-функции, вычисляющие значения верхних и нижних сумм Дарбу на отрезке с равномерным разбиением на отрезков. Проверить работу М-функции для функции на отрезке при разбиении его на два равных элемента.

Упражнение 5. Вычислить интегральные суммы и суммы Дарбу для на отрезке при

4. Численное интегрирование.Функция quad(‘f’,a,b) вычисляет значения определенного интеграла функции f на отрезке с точностью до Для повышения точности вычислений следует задать дополнительный четвёртый аргумент – требуемое значение точности.

Упражнение 6. Вычислить Сравнить с результатами упражнении 5, вычислив разности между численным значением интеграла и интегральными суммами и суммами Дарбу.