Средняя арифметическая и ее основные свойства
Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным (это среднее слагаемое).
Средняя арифметическая бывает простая и взвешенная.
Средняя арифметическая простая рассчитывается по формуле:
, (6.3)
где 
– это индивидуальные значения признака, среднее значение которого находится; 
– количество единиц в совокупности.
Например, средний балл ученика, получившего за неделю три оценки – 6, 7 и 8, будет равен:
(баллов).
Т.е. средняя арифметическая простая применяется в случаях, если каждое индивидуальное значение признака встречается один раз.
Если значение признака (варианты) встречаются неодинаковое число раз, то используется средняя арифметическая взвешенная (средняя дискретного ряда):
, (6.4)
где – варианты значений признака; 
– частота появления соответствующего значения признака.
Пример 1. Пусть имеются данные:
| Затраты времени (сек.) на обработку детали ( )
| |||
| Число деталей ( )
|
Средние затраты времени на обработку детали:
(сек.).
Средняя арифметическая обладает рядом математических свойств, которые могут быть использованы для ее расчета упрощенным способом.
1. Если варианты уменьшить или увеличить на некоторое постоянное число, то средняя соответственно уменьшится или увеличится на это постоянное число:
. (6.5)
2. Если варианты разделить или умножить на некоторое постоянное число, средняя соответственно уменьшится или увеличится во столько же раз:
а) при делении вариант на постоянное число:
; (6.6)
б) при умножении вариант на постоянное число:
. (6.7)
3. Если частоты разделить на некоторое постоянное число, то средняя не изменится:
. (6.8)
4. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты:
если 
то 
. (6.9)
5. Алгебраическая сумма отклонений вариант от средней равна нулю:
если 
то 
(6.10)
то 
Расчет средней по интервальному вариационному ряду.
Средние величины интервального ряда рассчитывают по средней арифметической взвешенной:
, (6.11)
где 
– величина середины i-го интервала или среднее значение показателя на интервале (определяется как полусумма нижней и верхней границ интервалов); – частота i-го интервала.
Пример 2. Имеются данные о стаже работы рабочих цеха:
| Стаж работы, лет ( )
| 0 – 6 | 6 – 12 | 12 – 18 |
| Число рабочих ( )
|
Тогда средний стаж рабочих цеха:
года.
Вторым способом расчета средних интервального ряда является способ условных моментов (для рядов распределения с равными интервалами).
На основании свойств средней можно из всех значений признака вычесть произвольную постоянную величину (А), разность сократить на общий множитель (i) и рассчитать момент первого порядка ( 
) по формуле:
. (6.12)
Для расчета фактической средней величины момент первого порядка ( ) умножают на общий множитель (i) и прибавляют произвольную постоянную величину (А):
. (6.13)
В качестве произвольной постоянной величины (А) чаще выбирают одну из центральных вариант ряда:
. (6.14)
В качестве общего множителя (i) используем общий наибольший делитель, равный величине интервала для рядов распределения с нечетным числом интервалов. При четком числе интервалов i равен половине величины интервала.
Пример 3. Имеются сведения о распределении рабочих по стажу:
Стаж, лет (  )
| Число рабочих
(  )
| Середина интервалов 
| 
| 
| 
| 
|
| А | ||||||
| До 10 10-12 12-14 14-16 16 и более | -4 -2 | -2 -1 | -20 -10 | |||
| Итого | - | - |
Решение:
; 
.
Средний стаж рабочего можно рассчитать:
а) по формуле средней арифметической взвешенной:
(года).
б) по «способу моментов», т.к. ряд с равными интервалами.
Вычислим постоянную величину из значений 
(это первый условный момент ), где 
; крайний делитель i в данном ряде с нечетным числом интервалов равен величине интервала, т.е. 2 года. Тогда 
.
года.