Приклад дослідження структурної стійкості динамічної системи
Розглянемо систему нелінійних диференціальних рівнянь з двома параметрами 
| (2(2.11) |
1. Знайти всі особливі точки.
2. Розглянути поведінку системи поблизу кожної особливої точки.
3. В залежності від значень параметрів, визначити тип особливої точки (фокус, сідло, вузол, центр) та її стійкість.
4. Побудувати біфуркаційну множину.
5. Побудувати фазові портрети системи для декількох точок з областей, на які розділила фазовий простір біфуркаційна множина (побудувати фазові портрети системи за деякими конкретними значеннями параметрів).
Розв’язання
Особливі точки. Знайдемо особливі точки системи (2.11):
(2.12)
А. Розглянемо систему:
Розіб'ємо особливі точки, отримані з цієї системи на 2 випадки:
1) 
(2.13)
2) 
(2.14)
Б. Розглянемо систему:
Піднесемо ліві частини до квадрату та підсумуємо:
Одержали особливі точки у вигляді
(2.15)
Лінеаризація
Розкладемо систему (2.12) в околі точки ( 
) у ряд Тейлора та знехтуємо величинами порядків більших за 
. Для початку, обчислимо частинні похідні для 
та 
:
| 
|
| 
|
Виконаємо заміну 
та 
, отримаємо систему лінійних диференціальних рівнянь:
| (2.16) |
з матрицею коефіцієнтів 
.
Для подальшого дослідження нам знадобляться її визначник та слід:
; 
,
або, використовуючи (2.12),
Побудова біфуркаційної множини
Будемо досліджувати залежність типу точки від параметрів ( 
).
Відомо, що
1) для 
маємо особливу точку сідло
2) для 
маємо особливу точку вузол
3) для 
маємо особливу точку фокус
4) а також за 
:
· для 
маємо особливу точку центр
· для 
маємо нестійкий фокус або вузол
· для 
маємо стійкий фокус або вузол
Розглянемо особливі точки (2.13)
Тоді матриця коефіцієнтів прийме вигляд
; 
; 
.
З’ясуємо, за яких значень параметрів точка вигляду (2.13) – сідло
.
З’ясуємо, за яких значень параметрів точка виду (2.13) – фокус
— фокуси відсутні
З’ясуємо, за яких значень параметрів (2.13) – вузол
Оскільки маємо 
для 
, вузол — нестійкий
Розглянемо особливі точки (2.41)
Тоді матриця коефіцієнтів, слід і детермінант приймають вигляд
; 
; 
.
Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо сідло
Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо фокус
— фокуси відсутні
Дізнаємось при яких значеннях параметрів маємо вузол
. Оскільки маємо 
для 
, вузол – стійкий.
Розглянемо особливі точки (2.15). У даному прикладі не будемо досліджувати типи особливих точок (2.15), а розглянемо значення параметрів ( 
), за яких особливі точки (2.15) — зникають. Це відбудеться якщо виконуються нерівності:
.
Очевидно, що друге рівняння не виконується завжди, а третє еквівалентне першому, тому
.
Тобто для 
, окрім особливих точок (2.13), (2.14), маємо ще не дослідженні на тип точки (2.15), а при 
особливі точки (2.15) зникають.