Выбор ¼-реплик. Обобщающий определяющий контраст

 

Выбор реплик большей дробности, чем 2, требует значительного терпения и внимательности. Кроме того, требует также глубокого понимания физического существа исследуемой задачи. В противном случае вся работа по планированию и проведению эксперимента окажется напрасной. Напротив, при правильном планировании экономится огромное количество опытов (а значит и материальных и временных затрат).

В предыдущей лекции указывалось, что для исследования влияния 5 факторов не обязательно ставить 32 опыта. Можно обойтись и 16-ю (½-реплика). Но можно и 8-ю. Это и есть ¼-реплика для 5-ти факторов. Возможность ограничиться 8-ю опытами связана с избыточностью плана для 3-х факторов. В нем имеется 4 столбца парных и тройного взаимодействия, которыми можно пренебречь, поскольку постулируется линейная модель. Эти столбцы могут быть использованы для факторов х4 и х5 в случае пяти факторов. Напомним, что это столбцы с произведениями факторов х₁х₂, х₁х₃, х₂х₃, х₁х₂х₃.

Приведем несколько возможных вариантов замены. Допустим, что фактор х4 приравнивается парному взаимодействию, а фактор х5 – тройному. Тогда

1: х₄=х₁х₂; х₅=х₁х₂х₃;

2: х₄=х₂х₃; х₅=х₁х₂х₃;

3: х₄=-х₁х₂; х₅=х₁х₂х₃ и т.д.

Всего возможно 12 таких вариантов. Кроме того, количество вариантов увеличивается вдвое, так как можно пятому фактору задать парное взаимодействие, и четвертому – тройное.

Допустим, что выбран вариант №2. Поскольку в план для трех факторов вводится еще два фактора, то имеется два определяющих контраста (они получаются умножением генерирующих соотношений соответственно на х₄ и х₅:

+1=х₂х₃х₄; +1=х₁х₂х₃х₅.

Очевидно, что две единицы могут быть умножены друг на друга, что в результате дает также единицу. Следовательно, можно перемножить эти два определяющих контраста. Получим

+1=х₁х₄х₅.

Таким образом, получено, что

+1 = х₂х₃х₄ = х₁х₂х₃х₅ = х₁х₄х₅.

Полученное соотношение называется обобщающим определяющим контрастом (сокращенно – ООК). При его помощи найти все системы смешивания факторов. Для этого необходимо ООК умножить на каждый из факторов. Полученные в результате этого соотношения и определят систему смешивания факторов (напомним, что под системой смешивания подразумевается смешивание оценок коэффициентов модели, полученных в результате реализации опытов по принятому плану).

Для рассматриваемого варианта и линейной модели получим:

х₁ = х₁х₂х₃х₄ = х₂х₃х₅ = х₄х₅.

х₂ = х₃х₄ = х₁х₃х₅ = х₂х₁х₄х₅.

х₃ = х₂х₄ = х₁х₂х₅ = х₁х₃х₄х₅.

х₄ = х₂х₃ = х₁х₂х₃х₄х₅ = х₁х₅.

х₅ = х₂х₃х₄х₅ = х₁х₂х₃ = х₁х₄.

Приведенные соотношения показывают, что, например, для коэффициента имеем:

.

Аналогично могут быть записаны оценки и других коэффициентов линейной модели.

Отметим, что при использовании ¼-реплики от плана для пяти факторов (т.е. беря за основу план для трех факторов), остается еще два столбца парных взаимодействий (тройное взаимодействие использовано для фактора х₅). ООК позволяет найти систему смешивания оценок и в этом случае. Для этого ООК надо умножить на искомое парное взаимодействие.

Если при анализе физической задачи окажется, что какие-либо парные взаимодействия не столь малы, что ими можно пренебречь, то необходимо поставить еще одну серию опытов, реализовав другую ¼-реплику, построенную на основе метода «перевала». Смысл его состоит в том, что новая матрица плана создается на основе первой, но с изменением всех знаков на противоположные. После проведения эксперимента по этому новому плану оценки коэффициентов необходимо усреднить. Парные взаимодействия компенсируются.

Рассмотрим это более подробно на примере исследуемого варианта.

Напомним, что выбраны следующие генерирующие соотношения:

х₄=х₂х₃; х₅=х₁х₂х₃.

Эти соотношения определяют ООК вида:

+1 = х₂х₃х₄ = х₁х₂х₃х₅ = х₁х₄х₅.

и систему смешивания оценок в коэффициентах

х₁ = х₁х₂х₃х₄ = х₂х₃х₅ = х₄х₅.

х₂ = х₃х₄ = х₁х₃х₅ = х₂х₁х₄х₅.

х₃ = х₂х₄ = х₁х₂х₅ = х₁х₃х₄х₅.

х₄ = х₂х₃ = х₁х₂х₃х₄х₅ = х₁х₅.

х₅ = х₂х₃х₄х₅ = х₁х₂х₃ = х₁х₄.

Для того, чтобы исключить в оценках влияние парных взаимодействий, необходимо проанализировать генерирующие соотношения, и изменить знак у того (или тех), влияние которого (которых) необходимо компенсировать.

В рассматриваемом примере таким парным взаимодействием является взаимодействие второго и третьего факторов. У него и надо поменять знак. Тогда генерирующие соотношения примут вид:

х₄=-х₂х₃; х₅=х₁х₂х₃.

Соответственно изменится и ООК:

+1 = -х₂х₃х₄ = х₁х₂х₃х₅ = -х₁х₄х₅.

В данном случае ООК рассчитывается по той же процедуре, что и для основной ¼-реплики. В соответствии с новым ООК будет получена следующая система смешивания:

х₁ = -х₁х₂х₃х₄ = х₂х₃х₅ = -х₄х₅.

х₂ = -х₃х₄ = х₁х₃х₅ = -х₂х₁х₄х₅.

х₃ = -х₂х₄ = -х₁х₂х₅ = х₁х₃х₄х₅.

х₄ = -х₂х₃ = х₁х₂х₃х₄х₅ = -х₁х₅.

х₅ = -х₂х₃х₄х₅ = х₁х₂х₃ = -х₁х₄.

Но тогда изменятся и оценки коэффициентов. Например, для коэффициента имеем:

.

Ясно, что при усреднении двух оценок (по первой и второй ¼-репликам) влияние парного взаимодействия будет скомпенсировано (при этом, как видно, будет скомпенсировано и взаимодействие четырех факторов).

Итак, для того чтобы исключить в оценках коэффициентов линейной модели какое либо взаимодействие порядка выше первого, необходимо у соответствующего генерирующего соотношения изменить знак на противоположный.

В заключение введем еще одно понятие: разрешающая способность плана.

В связи с этим напомним, что дробные планы позволяют существенно сократить временные (а значит и материальные) затраты на проведение экспериментов. Но вместе с тем, они повышают вероятность получения более грубого результата. Риск понизить точность экспериментов является необходимой платой за экономию опытов.

Потеря точности связана с тем, что в оценках коэффициентов линейной модели происходит смешивание влияния собственно линейных коэффициентов и их взаимодействий. Чем меньше порядок смешивания, тем более высок риск потерять точность. Это естественно, так как более вероятно совместное влияние двух факторов, чем трех, а тем более пяти и т.д.

Вместе с тем, как видно из приведенного примера, смешивание в оценках коэффициентов зависит от выбранной реплики (т.е. генерирующих соотношений и ООК). В этом случае говорят, что получаются дробные факторные планы, обладающие различной разрешающей способностью (т.е. возможность получить смешивание более высоких порядков, которым можно пренебречь с меньшим риском).

Разрешающая способность плана определяется максимальным числом элементов в ООК. Если таких элемента 3, то говорят, что план имеет разрешающую способность III, если таких элемента 4 – то IV, и т.д.

В рассмотренном примере максимальное количество элементов в ООК 4 (х₁х₂х₃х₅), поэтому и ¼-реплика имеет разрешающую способность IV. Для планов, определяемых дробными репликами принято обозначение с указанием в нем разрешающей способности, например .

Дробные факторные планы с наибольшей разрешающей способностью называются главными планами. Именно таким планам следует отдавать предпочтение.