СИСТЕМА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИЙ
Тема 6.
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ВАРИАЦИИ
В РЯДАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Понятие вариации признака в совокупности.
Система показателей вариации.
Правило сложения дисперсий и его применение.
Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
3.2 Расчёт показателей тесноты и силы связи признаков на основе правила сложения дисперсий.
Характеристика формы распределения единиц совокупности.
Понятие вариации признака в совокупности.
Информации о средних значениях обычно бывает недостаточным для полного анализа изучаемого процесса (явления), т.к. иногда совершенно разные по внутреннему строению совокупности могут иметь равные средние величины
Пример.
5 5
_
Ряд 1. 95 100 105 хi = 100
_
Ряд 2. 75 100 125 х2 = 100
25 25
Эти два ряда имеют одинаковую среднюю, однако расхождения между вариантами 2-го ряда в 5 раз больше чем между вариантами 1-го ряда, т.е. ряды качественно разные.
Следовательно, при изучении совокупностей необходимо учитывать разброс значений признака единиц совокупности относительно средней величины ,т.е. вариацию (колеблемость) признака.
Вариации – это различие индивидуальных значений признака в ряде распределения. Вариация возникает в виду того, что на объект действуют не только систематические, но и случайные факторы.
При оценке вариации необходимо учитывать разность , т.е. отклонение индивидуального варианта
от среднего значения
.Затем
можно рассчитать среднее из этих отклонений и рассматривать эту величину как один из показателей вариации признака.
Если вариация ( т.е. разброс значений признака вокруг их средней величины) незначительна, то средняя величина типична для данной совокупности.
Если вариация велика (т.е. отклонения значений признака от средней ) значительны, то средняя является ненадёжной характеристикой совокупности.
Для измерения вариация служит специальная система показателей,которые позволяют определить величину разброса значений признака (и тем самым установить надёжность средней).
Кроме того, эти показатели позволяют:
· Определить предельные границы изменения признака
· Установить, является лисовокупность однородной
· Установить тесноту и силу взаимосвязи между факторными признаками и результативным признаком.
СИСТЕМА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИЙ.
Показатели вариации (колеблемости) признакаоцениваютстепень (разброса) рассеяния вариантов значений признака относительно своего центра (или Ме).
Различают показатели размера вариации (абсолютные) и интенсивности вариации (относительные).
1.Показатели размера вариации
· размах вариации, устанавливающий предельное значение амплитуды колебаний признака;
R= xmax - xmin (1)
· среднее линейное отклонение , вычисляемое как среднее арифметическое из абсолютных отклонений |xi -
|:
(2)
· дисперсия s2 (или D), рассчитываемая как среднее арифметическое из квадратов отклонений (xi -):
(3)
· среднее квадратическое (стандартное) отклонение s, вычисляемое как корень квадратный из дисперсии s2:
(4)
Эти формулы применяются, когда изучается вариация в дискретных рядах распределения, без учёта частот.
Если анализируется вариация в интервальных рядах, то используется взвешенная форма показателей вариации:
(5)
(6)
(7)
Длярасчёта дисперсии существует удобная формула для вычислений:
(8)
Показатели R, и sявляются величинами именованными и выражаются в тех же единицах, что и изучаемый признак. Дисперсия s2 считается безразмерной величиной
В статистической практике для оценки вариации наиболее широко применяются показатели s2 и s.Они основаны на учете отклонений (xi-) индивидуальных значений признака xi от средней арифметической
и являются обобщающими характеристиками различия в значениях признака.
Среднее квадратическое отклонение s показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака xi от их средней величины .
Размерность отклонения sсовпадает с размерностью самого признака, поэтому этот показатель экономически хорошо интерпретируется. Отклонения, выраженные в s, принято считать стандартными.
Дисперсия s2 оценивает средний квадрат отклонений (xi -). Величина s очень чутко реагирует на вариацию признака (за счет возведения отклонений в квадрат) и органически вписывается в аппарат математической статистики (дисперсионный, корреляционный анализ и др.). На расчете дисперсии основаны многие статистические показатели.
2.Показатели интенсивности вариации признака.
Это относительные показатели, измеряемые, как правило, в процентах:
Vs= , Vd=
, VR=
, VMe=
.
Среди показателей интенсивности вариации наиболее часто применяется коэффициент вариации Vs , который выражается в процентах и вычисляется по формуле
(9)
Величина Vsоценивает интенсивность колебаний вариантов относительно их средней величины.
Принята следующая оценочная шкала колеблемости признака:
0%<Vs 40% - колеблемость незначительная;
40%< Vs 60% - колеблемость средняя (умеренная); (10)
Vs>60% - колеблемость значительная.
Для нормальных и близких к нормальному распределений показатель Vs служит индикатором однородности совокупности: принято считать, что при выполнимости неравенства
Vs 33% (11)
совокупность является количественно однородной по данному признаку.
Коэффициент вариации Vs часто используется для сравнения колеблемости признаков в различных рядах распределения, когда сравнивается вариация разных признаков в одной и той же совокупности или же вариация одного и того же признака в различных совокупностях, имеющих разные средние.
Пример.
Имеется ряд распределения (табл.6.1 ) сотрудников по стажу работ.
Таблица 6.1