Доказать, что если и связаны линейной зависимостью то абсолютная величина коэффициента корреляции равна единице
Решение:
По определению коэффициента корреляции 
, где
(*)
Найдем математическое ожидание 
:
(**)
Подставив (**) в (*), после элементарных преобразований получим
.
Учитывая, что
, найдем дисперсию 
:
.
Отсюда 
.Следовательно, коэффициент корреляции
.
Если 
, то 
; если 
, то 
.
Итак, 
, что и требовалось доказать.
№439 Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот.
Решение:
Найдем объем выборки; 
. Найдем
относительные частоты:
; 
; 
.
Напишем искомое распределение относительных частот:
Контроль: 
.
№440 Выборка задана в виде распределения частот:
Найти распределение относительных частот.
Решение:
Найдем объем выборки: 
. Найдем
относительные частоты:
; 
; 
; 
.
Напишем искомое распределение относительных частот:
Контроль: 
.
№441 Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
Решение:
Найдем объем выборки: 
.
Наименьшая варианта равна единице, поэтому 
при
.
Значение 
, а именно 
, наблюдалось 10 раз, следовательно,
при 
.
Значения 
, а именно: 
и 
, наблюдались 10+12=25 раз; следовательно, 
при 
.
Так как 
— наибольшая варианта, то 
при 
.
Напишем искомую эмпирическую функцию:
№442 Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
а) 
б) 
Решение:
а) Найдем объем выборки: 
.
Наименьшая варианта равна 2, поэтому 
при 
.
Значение 
, а именно 
, наблюдалось 1 раз, следовательно,
при 
.
Значения 
, а именно: 
и 
, наблюдались 
раз; следовательно, 
при 
.
Значения 
, а именно: 
, 
, 
, наблюдались 
раз; следовательно, 
при 
.
Так как 
— наибольшая варианта, то 
при 
.
Ответ: 
б) Найдем объем выборки: 
.
Наименьшая варианта равна 4, поэтому 
при 
.
Значение 
, а именно 
, наблюдалось 5 раз, следовательно,
при 
.
Значения 
, а именно: 
и 
, наблюдались 
раз; следовательно, 
при 
.
Так как 
— наибольшая варианта, то 
при 
.
Ответ: 
№443 Построить полигон частот по данному распределению выборки:
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
Решение.
Отложим на оси абсцисс варианты 
, а на оси ординат —соответствующие им частоты соединив точки 
отрезками прямых, получим искомый полигон частот.
№444 Построить полигон частот по данному распределению выборки:
а)
|
| 
| 
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
б)
|
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
№445 Построить полигон относительных частот по данному распределению выборки:
А).
|
|
|
|
|
|
|
| 
| 
| 
|
| 
|
Решение:
Отложим на оси абсцисс варианты а на оси
ординат—соответствующие относительные частоты 
. Соединив точки
отрезками прямых, получим искомый полигон относительных частот
Б).
|
|
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
| 
|
|
|
В).
|
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
| 
|
№446 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки объема n=100:
| 
| 
| 
|
|
| 
|
| 
|
|
| 
|
|
|
|
| 
| 
| 
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
|
|
|
Решение.
Построим на оси абсцисс заданные интервалы длины
. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси
абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим
плотностям частоты 
. Например, над интервалом 
построим отрезок, параллельный оси абсцисс, на расстоянии 
; аналогично строят остальные отрезки.
№447 Построить гистограмму частот по данному распределению выборки:
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
| 
|
|
| 
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
|
№448Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
|
|
| 
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
Решение. Найдем относительные частоты:
.
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина
интервала h=2:
.
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты. Например, над интервалом (О, 2) проведем отрезок, параллельный оси абсцисс и находящийся от нее на расстоянии, равном 0,1; аналогично строят остальные отрезки.
№449 Построить гистограмму относительных частот по данному распределению выборки:
а)
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
Решение. Найдем относительные частоты:
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина
интервала h=5:
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
|
| 
|
|
Решение.
Найдем относительные частоты:
Найдем плотности относительных частот, учитывая, что длина
интервала h=3:
Построим на оси абсцисс данные частичные интервалы. Проведем над этими интервалами отрезки, параллельные оси абсцисс и находящиеся от нее на расстояниях, равных соответствующим плотностям относительной частоты.
№450 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 50:
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя
= ( 
.
№451 Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=60:
|
|
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
Хi 1 3 6 26
ni 8 40 10 2
Найти несмещенную оценку генеральной средней.
Решение.
Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя
= ( = 
.
№452Задано распределение первоначальных вариант выборки объема п:
|
| 
| 
| 
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
Доказать, что
где условные варианты 
Решение. Так как 
; суммируя
левую и правую части равенства по всем значениям i получим
= 
или = 
= 
Отсюда
Следовательно,
или
, что и требовалось доказать.
№453Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=10:
|
| 
| 
| 
|
|
|
|
|
|
Решение. Первоначальные варианты — большие числа, поэтому
перейдем к условным вариантам. 
. В итоге получим
распределение условных вариант:
| 
| 
|
|
|
|
|
|
|
Найдем искомую выборочную среднюю:
Саградов Арсен
№454 Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки объема n=20:
| xi | |||||
| ni |
Решение:
Первоначальные варианты – большие числа, поэтому перейдем к условным вариантам ui=xi – 2620. В итоге получим распределение условных вариант
| ui | -60 | -20 | |||
| ni |
Найдем искомую выборочную среднюю
Ответ: 2621
№455. По выборке объема n = 41 найдена смещенная оценка 
= 3 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение.
Искомая несмещенная оценка равна исправленной
дисперсии:
= 
= 
№456 По выборке объема n=51 найдена смещенная оценка DB=5 генеральной дисперсии. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Решение
Искомая несмещенная оценка равна исправленной дисперсии
Ответ 5,1
№457. В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в мм): 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину стержня; б) выборочную
и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Решение:
а) Найдем выборочную среднюю:
= 92 +(0+2 + 11 + 13 + 14)/5=92+8 =100.
б) Найдем выборочную дисперсию:
= 
=[ 
+ 
+ 
]/5+
+ 
+ 
]/5 = 34.
Найдем исправленную дисперсию:
№458 В итоге 4 измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты: 8; 9; 11; 12. Найти: А) Выборочную среднюю результатов измерений; Б) Выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
Решение
А) Найдем выборочную среднюю
Б) Найдем выборочную дисперсию
Найдем исправленную дисперсию
Ответ: 10; 2,5; 
№459 Ниже приведены результаты измерения роста (в см) случайно отобранных 100 студентов
| Рост | 154-158 | 158-162 | 162-166 | 166-170 | 170-174 | 174-178 | 178-182 |
| Число студентов |
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию роста обследованных студентов
Решение
Найдем середины интервалов и примем их в качества вариант
Найдем выборочную среднюю
Найдем выборочную дисперсию
Перейдем к условным вариантам ui=xi – 168. В итоге получим распределение условных вариант
| ui | -12 | -8 | -4 | ||||
| ni |
Ответ: 166; 33,44
№460. Найти выборочную дисперсию по данному распределению
выборки объема n=10:
186 192 194
2 5 3
Решение.
Варианты—сравнительно большие числа, поэтому
перейдем к условным вариантам 
(мы вычли из вариант
число С = 191, близкое к выборочной средней). В итоге получим
распределение условных вариант:
—5 1 3
2 5 3
Найдем искомую выборочную дисперсию:
№461 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100
| xi | ||||
| ni |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=xi – 360. В итоге получим распределение условных вариант
| ui | -20 | |||
| ni |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Ответ: 167,29
№462 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=100
| xi | ||||
| ni |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=xi – 2844. В итоге получим распределение условных вариант
| ui | -342 | -40 | ||
| ni |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Ответ: 12603
№463. Найти выборочную дисперсию по данному распределению
выборки объема n=10:
0,01 0,04 0,08
5 3 2
Решение.
Для того чтобы избежать действий с дробями,
перейдем к условным вариантам 
=100 . В итоге получим распределение
1 4 8
5 3 2
Найдем выборочную дисперсию условных вариант:
Подставив в эту формулу условные варианты и их частоты, получим
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант:
№464 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50
| xi | 0,1 | 0,5 | 0,6 | 0,8 |
| ni |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=10xi . В итоге получим распределение условных вариант
| ui | ||||
| ni |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант
Ответ: 0,0344
№465 Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n=50
| xi | 18,4 | 18,9 | 19,3 | 19,6 |
| ni |
Решение
Перейдем к условным вариантам ui=10xi -195. В итоге получим распределение условных вариант
| ui | -11 | -6 | -2 | |
| ni |
Найдем искомую выборочную дисперсию
Найдем искомую выборочную дисперсию первоначальных вариант
Ответ: 0,1336
№466. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки n=10:
| xi | |||
| ni |
Решение.
Перейдем к условным вариантам ui = xi —104.
В итоге получим распределение
| ui | -2 | ||
| ni |
Найдем исправленную выборочную дисперсию условных вариант:
Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем выборки, получим 
=6,93.
Все первоначальные варианты были уменьшены на одно и то же постоянное число С=104, поэтому дисперсия не изменилась, т. е. искомая дисперсия равна дисперсии условных вариант: 
=6,93.
№467. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению выборки объема n = 100:
| xi | ||||
| ni |
Указание. Перейти к условным вариантам ui=xi—1275.
Решение.
Перейдем к условным вариантам ui=xi—1275.
В итоге получим распределение
| ui | -25 | |||
| ni |
Воспользуемся формулой
Подставив в эту формулу условные варианты, их частоты и объем выборки, получим