Простейшие свойства сходящихся рядов
РЯДЫ
Глава 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Основные понятия
Пусть дана бесконечная числовая последовательность: и1, и2, и3,…, иn,…
Определение. Выражение
и1 + и2 + и3 + … + иn + …(1)
называется числовымрядом,а элементы последовательности и1, и2, и3,…, иn,… – членами ряда.
Иногда для обозначения ряда (1) применяют запись 
: 
= и1 + и2 + и3 + … + иn + …
иn называют общим членом ряда (при произвольном n).
Определение. Сумма n первых членов ряда(1)
(2)
называется n-ой частичной суммой этогоряда.
Очевидно, первая, вторая, третья и т.д. частичные суммы ряда
…
составляют бесконечную последовательность.
Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность частичных сумм S1, S2, …, Sn имеет конечный предел
.
Значение этого предела называется суммой ряда.
При этом пишут: 
или 
.
Определение. Ряд (1) называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм предела не имеет.
Геометрический ряд
Рассмотрим ряд
, (3)
составленный из членов геометрической прогрессии. Часто данный ряд называют геометрическим рядом.
Составим частичную сумму Sn ряда: 
.
По формуле для суммы n первых членов геометрической прогрессии:
.
Очевидно, что при n®¥ изменяется только второе слагаемое последней формулы:
,
причем характер его изменения зависит от того, каково число q.
Геометрический ряд сходится при 
<1 и расходится при ³1 (a¹0), причем при <1 имеем
.
Простейшие свойства сходящихся рядов
Теорема 1. Если ряд сходится и имеет суммуS, то ряд 
(гдес – некоторая постоянная) также сходится и имеет суммуcS.
Итак, если все члены данного сходящегося ряда умножить на одно и тоже число с, то сходимость этого ряда не нарушится, а сумма его умножится на то же число.
Таким образом, сходящиеся ряды подчиняются, подобно конечным суммам, дистрибутивному закону умножения – в сходящемся ряде можно выносить за скобки общий множитель всех членов ряда.
Теорема 2. Если ряды (1) и 
(2) сходятся и имеют соответственно суммыSиs, то ряды 
(3) и 
(4) также сходятся и их суммы соотвественно равныS + s иS – s.
Пример. Найдем сумму ряда 
.
Решение.По теореме 2:
.●
Таким образом: 1) сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать так же, как и конечные суммы; 2) можно умножать члены сходящегося ряда на одно и тоже постоянное число, в результате получаются также сходящиеся ряды.
Замечание 1. Если ряды (1) и (2) оба расходятся, то о рядах (3) и (4) в общем случае ничего сказать нельзя. Они могут оказаться как сходящимися, так и расходящимися.
Рассмотрим два ряда
(5)
и
(6)
Теорема 3. Если сходится данный ряд (5), то сходится и ряд (6),полученный из ряда (5) отбрасыванием конечного числа k его первых членов. Обратно, если сходится ряд (6), то сходится и данный ряд (5).
Теорему 3 можно сформулировать следующим образом:.
На сходимость ряда не влияет отбрасывание любого конечного числа его первых членов.
Поэтому для установления сходимости ряда не обязательно учитывать все его члены. достаточно ограничиться членами, «начиная с некоторого места» или «начиная с некоторого номера п».