Краткие теоретические сведения. 4 страница
Расстояние от точки 
до прямой 
, заданной общим уравнением 
на плоскости, находится по формуле:
.
Угол 
, ( 
) между прямыми 
и 
, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:
; 
.
, если 
или 
.
,если 
или 
Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: 
или 
.
Нормальным вектором плоскости 
, называется всякий ненулевой вектор 
перпендикулярный данной плоскости.
Плоскость в системе координат 
может быть задана уравнением одного из следующих видов:
1) 
- общее уравнение плоскости, где 
- нормальный вектор плоскости;
2) 
- уравнение плоскости, проходящей через точку 
перпендикулярно данному вектору 
;
3) 
- уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
и 
;
4) 
-уравнение плоскости в отрезках, где 
, 
и 
- дины отрезков (со знаком 
), отсекаемых плоскостью на координатных осях 
, 
и 
(знак « 
», если отрезок отсекается на положительной части оси и « 
», если на отрицательной).
Расстояние от точки 
до плоскости , заданной общим уравнением 
, находится по формуле:
.
Угол 
, ( ) между плоскостями 
и 
, заданными общими уравнениями, находится по формуле:
.
, если 
, если 
.
Тема 9. Кривые второго порядка.
Алгебраической кривой второго порядка в системе координат 
называется кривая 
, общее уравнение которой имеет вид:
,
где числа 
- не равны нулю одновременно. Существует следующая классификация кривых второго порядка: 1) если 
, то общее уравнение определяет кривую эллиптического типа (окружность (при 
), эллипс (при 
), пустое множество, точку); 2) если 
, то - кривую гиперболического типа (гиперболу, пару пересекающихся прямых); 3) если 
, то - кривую параболического типа (параболу, пустое множество, прямую, пару параллельных прямых) . Окружность, эллипс, гипербола и парабола называются невырожденными кривыми второго порядка.
Общее уравнение 
, где 
, определяющее невырожденную кривую (окружность, эллипс, гиперболу, параболу), всегда (методом выделения полных квадратов) можно привести к уравнению одного из следующих видов:
1а) 
-уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
(рис. 5).
1б) 
- уравнение эллипса с центром в точке 
и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа 
и 
- называются полуосями эллипса; прямоугольник со сторонами 
, 
параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником эллипса; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами эллипса.
Для построения эллипса в системе координат :1) отмечаем центр 
эллипса; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии эллипса; 3) строим пунктиром основной прямоугольник эллипса с центром и сторонами , 
параллельными осям симметрии; 4) изображаем сплошной линией эллипс, вписывая его в основной прямоугольник так, чтобы эллипс касался его сторон только в вершинах эллипса (рис.6) .
Аналогично строится и окружность, основной прямоугольник которой имеет стороны 
(рис. 5).
Рис.5 Рис 6
2) 
- уравнения гипербол (называемых сопряжёнными) с центром в точке и осями симметрии, параллельными координатным осям. Числа и - называются полуосями гипербол; прямоугольник со сторонами , параллельными осям симметрии и центром в точке - основным прямоугольником гипербол; точки пересечения основного прямоугольника с осями симметрии - вершинами гипербол; прямые 
, проходящие через противоположные вершины основного прямоугольника – асимптотами гипербол.
Для построения гиперболы в системе координат : 1) отмечаем центр гиперболы ; 2) проводим через центр пунктирной линией оси симметрии гиперболы; 3) строим пунктиром основной прямоугольник гиперболы с центром и сторонами и параллельными осям симметрии; 4)проводим через противоположные вершины основного прямоугольника пунктирной линией прямые, являющиеся асимптотами гиперболы, к которым неограниченно близко, при бесконечном удалении от начала координат, приближаются ветви гиперболы, не пересекая их; 5) изображаем сплошной линией ветви гиперболы 
(рис. 7) или гиперболы 
(рис. 8).
Рис.7 Рис.8
3а) 
- уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 9).
3б) 
- уравнение параболы с вершиной в точке и осью симметрии, параллельной координатной оси (рис. 10).
Для построения параболы в системе координат : 1) отмечаем вершину параболы ; 2) проводим через вершину пунктирной линией ось симметрии параболы; 3) изображаем сплошной линией параболу, направляя её ветвь, с учётом знака параметра параболы 
: при 
- в положительную сторону координатной оси, параллельной оси симметрии параболы (рис. 9а и 10а); при 
- в отрицательную сторону координатной оси (рис.9б и 10б) .
Рис. 9а Рис. 9б
Рис. 10а Рис. 10б
Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
Линейным неравенством называют неравенство вида: 
, где 
- некоторые числа, 
- координаты точки пространства 
. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.
Для пространства 
линейное неравенство имеет вид 
. Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая 
делит плоскость 
. Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой.Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.
Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:
,
где 
- коэффициенты системы, 
- свободные члены системы. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решенийсистемы неравенств.
Для пространства система линейных неравенств имеет вид
.
Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств
Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.
Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.
Общей задачей линейного программирования называют задачу:
Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:
или 
Канонической задачей линейного программирования называют задачу:
Функция 
называется целевой функцией; величины называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой 
-мерный вектор 
удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.
Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая 
, на которой целевая функция принимает постоянное значение 
. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль 
показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор ( 
) – направление наибольшего убывания.
Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор ( ) и одну из линий уровня, например 
, то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора ( ), через которую проходит линия уровня 
( 
), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции 
. В этом и состоит графический метод решенияЗЛП.
Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.
При производстве видов продукции используется 
видов ресурсов. Известны: 
- запасов ресурсов; ( 
) - расход 
-ого вида ресурса на производство одной единицы 
-ого вида продукции; 
- прибыль, получаемая от реализации одной единицы -ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции , где 
- объём выпуска -ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль . Математическая модель такой задачи имеет вид:
и является задачей линейного программирования.