Шестнадцатеричная система счисления
Пример 1. Найти десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа FD316 (n = 3).
Решение
FD316 = 15×162+13×161+3×160 = 3840+208+3 = 405110
Зная перевод шестнадцатеричного числа в двоичное, можно проще найти его десятичный эквивалент. Для этого надо воспользоваться таблицей двоичных эквивалентов шестнадцатеричных чисел (тетрад).
16-ичная цифра | Тетрада | 16-ичная цифра | Тетрада |
A | |||
B | |||
C | |||
D | |||
E | |||
F |
Пример 2. Найти десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа 3D16.
Решение
3D16 = 0011 11012 = 1111012 = 1×25+1×24+1×23+1×22+0×21+1×20 = 32+16+8+4+0+1 = 6110
Тесты
№ п/п | Вопрос | Варианты ответов | |||||||||||||||
Какое из представленных чисел записано с использованием непозиционной системы счисления? | 1. 1326 2. 10011101 3. МСМХСVI 4. ABFCD | ||||||||||||||||
Обратный код суммы чисел 510 и –910 в однобайтовом формате имеет вид… | 1. 10000100 2. 00000100 3. 01111011 4. 11111011 5. 11111100 | ||||||||||||||||
Дополнительный код числа –12610 в однобайтовом формате имеет вид… | 1. 11111110 2. 01111110 3. 10000010 4. 10000001 5. 11111111 | ||||||||||||||||
Младший разряд двоичной записи числа, кратного 2, равен... | 1. 1 2. 0 3. 10 4. 2 | ||||||||||||||||
Как записывается десятичное число 1010 в двоичной системе счисления? | 1. 1010 2. 1011 3. 1110 4. 1101 | ||||||||||||||||
Как записывается десятичное число 310 в двоичной системе счисления? | 1. 10 2. 01 3. 00 4. 11 5. 12 | ||||||||||||||||
Основание S системы счисления, в которой 3510=43S, равно… | 1. 10 2. 8 3. 2 4. 16 5. 32 | ||||||||||||||||
Результатом сложения двух чисел 1816+1416 будет… | 1. 3C16 2. 2C16 3. 3216 4. FF16 5. CF16 | ||||||||||||||||
Даны два числа в двоичной и восьмеричной системах счисления. Их сумма 112+118 в десятичной системе счисления равна… | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Какие знаки используются для представлений чисел в шестнадцатеричной системе исчисления? | 1. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,E,F,G 2. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,B,C,D,E,F 3. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 4. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16 | ||||||||||||||||
Какое количество информации содержит один разряд шестнадцатеричного числа? | 1. 1 бит. 2. 4 бита. 3. 1 байт. 4. 16 бит. 5. 8 бит. | ||||||||||||||||
В какой записи чисел нет ошибки? | 1. 12C3 2. 7617 3. 53618 4. 62434 5. 45013 | ||||||||||||||||
Из чисел 105987, 193, 7345, 2850 к записи числа в восьмеричной системе счисления относится … | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Наибольшее по величине число из 10016, 1008 , 10010, 1002 относится к системе счисления с основанием … | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Переведите число 4AD316 в двоичную систему счисления. | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Перевести двоичное число 1100101001101010111 в восьмеричную систему счисления. | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Заданное в восьмеричной системе счисления число 10538 равно десятичному числу ... | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Десятичное число 2009 в пятеричной системе счисления равно… | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Даны три числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Их сумма 112+118+1116 в десятичной системе счисления равна… | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Если числа в шестнадцатеричной системе счисления имеют вид B116 и 4016, то их разность в десятичной системе счисления равна … | 1. 136 2. 137 3. 113 4. 71 | ||||||||||||||||
Если целое число X=101100112 записано в дополнительном коде, то десятичное значение данного числа равно ... | 1. 77 2. -77 3. 79 4. -78 | ||||||||||||||||
В 4-ичной системе счисления сумма чисел F16 и 148 равна… | 1. 321 2. 132 3. 123 4. 231 5. 301 | ||||||||||||||||
Количество целых чисел, кратных 1002, в интервале (–А16; 11112) равно… | 1. 810 2. 4 10 3. 510 4. 610 5. 710 | ||||||||||||||||
Сложите 2 числа в двоичной системе счисления: 10101+1011= | 1. 101010 2. 010101 3. 100000 4. 111111 | ||||||||||||||||
Максимальное шестнадцатеричное число, кодируемое одним байтом равно... | 1. 1515 2. FF 3. AA 4. 15F | ||||||||||||||||
При вычитании из двоичного числа 1...0 двоичного числа 1011, получено двоичное число 11. Это означает, что в уменьшаемом пропущена последовательность цифр... | 1. 10 2. 01 3. 11 4. 00 | ||||||||||||||||
При сложении двоичных чисел 1...1 и 1001 получается двоичное число 10110. Это означает, что в первом слагаемом пропущена последовательность цифр... | 1. 11 2. 00 3. 01 4. 10 | ||||||||||||||||
При сложении восьмеричных чисел 575 и 4...3 получается восьмеричное число 1260. Это означает, что во втором слагаемом пропущена цифра... | 1. 7 2. 5 3. 4 4. 6 | ||||||||||||||||
В каком отношении находятся числа 128 и 1210, состоящие из одинаковых цифр, но с разными основаниями? | 1. Первое меньше второго. 2. Их невозможно сравнить, так как у них различные основания. 3. Числа равны. 4. Первое больше второго. | ||||||||||||||||
Выберите запись двоичного числа 1011012 в десятичной системе счисления. | 1. 45 2. 50 3. 55 4. 63 | ||||||||||||||||
Запишите десятичное число 1510 в двоичной системе счисления. | 1. 11012 2. 10112 3. 11112 4. 11102 | ||||||||||||||||
Числа 10010012 и 1118 принадлежат двоичной и восьмеричной системам счисления соответственно В каком отношении они находятся? | 1. Первое меньше второго. 2. Первое больше второго. 3. Их невозможно сравнить, так как у них разные основания. 4. Они равны. | ||||||||||||||||
Три числа представлены в двоичной системе счисления. А. 1001010 Б. 1100000 В. 1001111 Выберите числа в порядке убывания. | 1. А Б В 2. А В Б 3. В Б А 4. Б В А | ||||||||||||||||
Какой системе счисления из ниже перечисленных принадлежит число 1234С? | 1. Восьмеричной. 2. Десятичной. 3. Двенадцатеричной. 4. Шестнадцатеричной. | ||||||||||||||||
Как изменится двоичное число 111000,011, если перенести запятую, отделяющую целую часть от дробной, на один разряд вправо (новое число 1110000,11)? | 1. Число уменьшится в два раза. 2. Число увеличится в два раза. 3. Число уменьшится в 10 раз. 4. Число увеличится в 10 раз. | ||||||||||||||||
Как изменится число, записанное в восьмеричной системе счисления, при переносе запятой, отделяющей целую часть от дробной, на два позиции влево? | 1. Число уменьшится в 2 раза. 2. Число уменьшится в 8 раз. 3. Число уменьшится в 10 раз. 4. Число уменьшится в 64 раза. | ||||||||||||||||
Выполните вычисления А,816+1011,12 и запишите результат в двоичной системе счисления. | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Два числа записаны одинаковыми цифрами, но с различными основаниями. Какое число больше? | 1. То, у которого основание меньше. 2. То, у которого основание больше. 3. Они равны, так как имеют одинаковую запись. 4. Их невозможно сравнить, так как у них разные основания. | ||||||||||||||||
Три из перечисленных ниже чисел находятся в отношении равенства. Выберите ответ, в котором перечислены равные числа. А. 10001001102; Б. 12308; В. 10468; Г. 19216; Д. 22616 | 1. А В Г 2. А Б Г 3. А В Д 4. А Б Д | ||||||||||||||||
Число 1201 может принадлежать перечисленным позиционным системам счисления, кроме… | 1. Двоичной. 2. Восьмеричной. 3. Десятичной. 4. Шестнадцатеричной. | ||||||||||||||||
Число 71 832 не может принадлежать системе счисления: А. С основанием меньше 8. Б. С основанием 8. В. С основанием 10. Г. С основанием 16. | 1. А 2. А Б 3. Б В 4. Г | ||||||||||||||||
Отрицательное число –610 размещено в одном байте. Переведите его в дополнительный код двоичного числа. | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Отрицательное число –910 размещено в одном байте. Переведите его в обратный код двоичного числа. | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
В 4 байтах записано целое положительное двоичное число в формате с фиксированной точкой. Какому числу в шестнадцатеричной системе счисления соответствует эта запись? | 1. +4020609816 2. +2010309816 3. +1008189816 4. +100818А816 | ||||||||||||||||
Чему равна разность восьмеричных чисел 65,4328 и 7,6278? | 1. 57,8058 2. 56,7048 3. 55,6038 4. 55,8058 | ||||||||||||||||
Чему равна разность шестнадцатеричных чисел 91,А616 и 16,3816? | 1. 75,6816 2. 7В,6Е16 3. 73,6816 4. 85,6816 | ||||||||||||||||
Чему равно дополнение числа F12916 до числа 1000016? | 1. 1871 2. 10ED7 3. 1ED7 4. ED7 | ||||||||||||||||
Чему равно дополнение числа 6328 до числа 100008? | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
Выполнена операция сложения двух чисел в p-ичной системе счисления: 53p+34p=120p Какая система счисления была использована? | 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 | ||||||||||||||||
Для каких систем счисления с основаниями p и q впервые становится справедливым равенство: 12p = 21q? | 1. p=2; q=3 2. p=3; q=2 3. p=3; q=5 4. p=5; q=3 | ||||||||||||||||
Определите десятичное число, если сумма его цифр равна 2610. В числе две одинаковые цифры и его запись в восьмеричной системе счисления равна 3х078, где х – неизвестная цифра. | 1. 1799 2. 1889 3. 11979 4. 1997 | ||||||||||||||||
В какой системе счисления 3p´3p=10p? | Введите ответ:
| ||||||||||||||||
В каком отношении находятся числа 3710 и 1000112? | 1. Равны. 2. Первое больше второго. 3. Первое меньше второго. 4. Их невозможно сравнить, так как у них разные основания. | ||||||||||||||||
Последняя цифра суммы чисел 321578 и 4556568 в восьмеричной системе счисления равна … | Введите ответ:
|
Основные понятия алгебры логики.
Логические основы ЭВМ
Основные понятия алгебры логики
О |
снову любого дискретного вычислительного устройства составляют элементарные логические схемы, работа которых базируется на законах и правилах алгебры логики.
Алгебра логики (булева алгебра) – раздел дискретной математики, изучающий высказывания и логические операции над ними.
Высказывание – связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывание не содержит внутреннего противоречия и несет смысловую нагрузку. Каждое составное высказывание можно выразить в виде логической формулы (выражения), в которую входят логические переменные, обозначающие высказывания, и логические операции.
Основными, или базовыми, операциями булевой алгебры являются: НЕ (NOT), ИЛИ (OR) и И (AND).
Операция НЕ называется логическим отрицанием, или инверсией, и обозначается знаком (—, Ø). Результат операции логического отрицания равен 1, если значение переменной равно 0 и, наоборот, равна 0, если переменная равна 1.
Операция ИЛИ называется логическим сложением, или дизъюнкцией, и обозначается знаком сложения (+, Ú). Дизъюнкция двух переменных равна 1, если хотя бы одна переменная равна 1 и равна 0, если обе переменные равны 0.
Операция И называется логическим умножением, или конъюнкцией, и обозначается знаком умножения (×, Ù, &). Конъюнкция двух переменных равна 0, если хотя бы одна переменная равна 0 и равна 1, если обе переменные равны 1.
Таблица истинности – табличное представление логической операции, в котором перечислены все возможные сочетания логических значений операндов вместе со значением результата операции для каждого из этих сочетаний. Для указанных выше операций таблицы истинности имеют следующий вид.
Инверсия | Дизъюнкция | Конъюнкция | |||||||
A | ØA | A | B | AÚB | A | B | A&B | ||
В алгебре логики кроме базовых логических операций используются и другие операции, например импликация и эквивалентность.
Операция импликации (логическое следование) образуется соединением двух переменных с помощью связки «если…то» и обозначается знаком (®). Импликация принимает значение 0 тогда и только тогда, когда первая переменная имеет значение 1, а вторая – 0. Это означает, что составное высказывание ложно только тогда, когда из истинной предпосылки (первое высказывание) вытекает ложный вывод (второе высказывание). Например, высказывание «Если число делится на 10, то оно делится на 3» принимает значение ложь, так как из истинной предпосылки «число делится на 10» делается ложный вывод «оно делится на 3».
Операция эквивалентности (логическое равенство) образуется соединением двух переменных с помощью связки «…тогда и только тогда, когда…» и обозначается знаком (~). Результат операции эквивалентности равен 1 тогда и только тогда, когда обе переменные одновременно имеют значение либо 0 либо 1. Это означает, что составное высказывание истинно, когда входящие в него высказывания одновременно либо истинны либо ложны. Например, высказывание «Компьютер может производить вычисления тогда и только тогда, когда он включен» принимает значение истины, так как оба высказывания «Компьютер может производить вычисления» и «когда он включен» являются истинными.
Таблицы истинности для операций импликации и эквивалентности имеют следующий вид.
Импликация | Эквивалентность | |||||
A | B | A®B | A | B | A~B | |
Для преобразования логических формул с целью их упрощения используются законы алгебры логики: законыоднопарных элементов, законы отрицания и комбинационные законы.
Законы однопарных элементов: а) универсального множества: x+1=1; x×1=x; б) нулевого множества: x+0=x; x×0=0.
Законы отрицания: а) двойного отрицания: =x; б) дополнительности: x+
=1; x
=0; в) двойственности (правило де Моргана):
;
.
Комбинационные законы:
а) тавтологии: x+x=x; x×x=x;
б) коммутативные: x1+x2=x2+x1; x1×x2=x2×x1;
в) ассоциативные (сочетательные): x1+(x2+x3)=(x1+x2)+x3; x1(x2x3)=(x1x2)x3;
г) дистрибутивные (распределительные): x1(x2+x3)=x1x2+x1x3; x1+x2x3=(x1+x2)(x1+x3);
д) закон абсорбции (поглощения): x1+x1x2=x1; x1(x1+x2)=x1;
е) склеивания: ;
.
Логической функцией(булевой, двоичной)называется логическая (двоичная) переменная y, значение которой зависит от значений двоичных переменных (x1, x2, …, xn), являющихся аргументами: y=y(x1, x2, …, xn). Любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию y(x1, x2, …, xn), аргументами которой являются простые высказывания (логические переменные x1, x2, …, xn). Задание логической функции означает, что каждому из возможных сочетаний аргументов соответствует определенное значение функции y. Если число аргументов равно n, то количество возможных сочетаний определяется как 2n. Для каждой логической функции можно построить таблицу истинности, которая показывает, какие значения принимает логическая функция при всех возможных наборах ее аргументов.
В алгебре логики все логические операции путем логических преобразований могут быть сведены к трем базовым: логическому умножению, логическому сложению и логическому отрицанию. Приоритеты выполнения логических операций в логических функциях следующие: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность. Рассмотрим на примерах приемы и способы упрощения логических формул и составления таблиц истинности для логических функций.
Пример 1. Используя законы алгебры логики, упростить логические формулы.
а) . При преобразовании законы алгебры логики применяются в следующей последовательности: правило де Моргана, сочетательный закон, законы дополнительности и нулевого множества.
б) . Применяется правило де Моргана; общий множитель выносится за скобки; используется закон дополнительности.
в) . Общие множители выносятся за скобки; применяется закон универсального множества.
Пример 2. Преобразовать логическую функцию . В этом примере для обозначения дизъюнкции и конъюнкции используются знаки Ú и &.
Решение
.
Пример 3. При каких значениях переменных A и B логическая функция принимает значение, равное 0.
Решение
Составим таблицу истинности для заданной логической функции.
A | B | ![]() | ![]() | A&B | ![]() | ![]() ![]() |
Из таблицы видно, что логическая функция F принимает значение 0 только при A=1 и B=1.
Логические основы ЭВМ
Л |
юбое вычислительное устройство компьютера (например, двоичный сумматор) представляет собой электронную логическую схему, состоящую из логических элементов.
Логический элемент(простой функциональный узел)– это простая электронная схема, которая реализует элементарную логическую функцию. К базовым логическим элементам относятся электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ, а также триггер. На входы логического элемента поступают сигналы – значения аргументов, на выходе появляется сигнал – значение функции. Входные и выходные сигналы логических элементов могут иметь одно из двух логических состояний: 1 (истина) или 0 (ложь). Работу логического элемента (преобразование сигналов) описывают с помощью таблицы истинности (состояния), соответствующей определенной логической функции.
Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений. Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Условное графическое изображение логического элемента представлено на рисунке
y=x1x2 |
x2 |
x1 |
& |
Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений. Единица на выходе схемы ИЛИ будет тогда и только тогда, когда на любом из входов будет единица. Условное графическое изображение логического элемента представлено на рисунке.
y=x1Úx2 |
x2 |
x1 |
Схема НЕ (инвертор) реализует операцию логического отрицания. Единица на выходе схемы НЕ будет тогда, когда на входе будет ноль. Когда на входе единица, то на выходе будет ноль. Условное графическое изображение логического элемента представлено на рисунке.
![]() |
x |
Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И. Условное графическое изображение логического элемента и таблица истинности представлены ниже.
x1 | x2 | ![]() |
![]() |
x1 |
& |
x2 |
x1 | x2 | ![]() |
Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ. Условное графическое изображение логического элемента и таблица истинности представлены ниже.
![]() |
x1 |
x2 |
Триггер – электронное устройство с двумя устойчивыми состояниями, предназначенное для хранения 1 бита данных. Триггер является важнейшей структурной единицей оперативной памяти компьютера, а также внутренних регистров процессора. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip-flop («хлопанье»). Самый распространенный тип триггера – RS-триггер. Он содержит защелку из двух элементов ИЛИ-НЕ и два раздельных статических входа управления: вход R (сброс – reset) и вход S (установка – set). Для RS-триггера с прямыми входами, когда за активный уровень принят уровень логической единицы, принципиальная схема и таблица истинности имеют следующий вид.
Вход | Выходы | ||
R | S | Q | ![]() |
Без изменений | |||
Не определено |
![]() |
Q |
S |
R |
Режим работы триггера, при котором R=1, а S=0, называется режимом очистки, при R=0, S=1 – режимом записи, а при R=0, S=0 – режимом хранения. Комбинация R=1, S=1 является запрещенной, так как на выходе Q может установиться состояние, как логического ноля, так и логической единицы. Рассмотрим пример построения электронной схемы, состоящей из базовых логических элементов.
Пример. Одноразрядный двоичный сумматор имеет два входа (x1 и x2) и два выхода (S – сумма и P – перенос в старший разряд). Таблица истинности для сумматора имеет следующий вид.
Входы | Выходы | ||
x1 | x2 | S=f1(x1, x2) | P=f2(x1, x2) |
Записать логические функции для S и P и составить электронную логическую схему сумматора, используя основные логические элементы.
Решение
Выходные функции S и P можно представить следующим образом: ; P=f2(x1, x2)=x1x2.
Тогда структурная схема сумматора будет иметь следующий вид.
P |
S |
x1 |
& |
& |
& |
x2 |
Тесты