Плоская задача теории упругости в полярных координатах
При решении краевых задач математической физики выбор тех или иных координат диктуется, прежде всего, формой границы области, в которой сформулирована краевая задача. Так в предыдущем параграфе при решении задач для прямоугольных областей использовались прямоугольные декартовые координаты. Полярную систему координат целесообразно применять в тех случаях, когда граница тела совпадает с ее координатными линиями (круглые и кольцевые пластины, пластины в форме кругового или кольцевого сектора и т. п.). Во всех таких случаях использование полярных координат приводит к значительному упрощению решения задачи.
1.8.1. Основные уравнения плоской задачи в полярных координатах. В полярных координатах положение точки тела определяется координатами 
и 
, связанными с декартовыми координатами 
и 
этой же точки уравнениями
Вывод основных уравнений начнем со статических соотношений.
Выделим из тела бесконечно малый объем, заключенный между координатными линиями , 
, , 
(см. рис. 1.10).
С точностью до линейных приращений на этот элемент действуют следующие напряжения: на грани и , — соответственно 
и 
, 
, а на грани и — соответственно 
и 
, 
. По аналогии с декартовыми координатами через 
и 
мы обозначили нормальные напряжения на площадках, нормали к которым ориентированы вдоль координатных линий и а через 
, ( 
) — касательное напряжение.
Принятое для них правило знаков показано на том же рисунке. Помимо напряжений на выделенный элемент действуют объемные силы, интенсивности проекций которых на координатные линии и мы обозначим через 
и 
соответственно.
Составим уравнения равновесия элемента объема путем проектирования действующих на него сил на оси r и , полагая, что толщина рассматриваемой пластины равна 1, а в силу малости угла 
Тогда найдем
Приводя подобные члены и отбрасывая бесконечно малые величины третьего порядка малости, разделим оба уравнения на 
и перейдем к пределу, когда элемент объема подобным образом стягивается в точку 
. Тогда приходим к следующим уравнениям локального равновесия в полярных координатах
| (1.70) |
Мы приняли, что 
. Доказать этот закон парности касательных напряжений можно путем рассмотрения равновесия элемента объема в отношении моментов вокруг оси 
. Но мы на этом не останавливаемся.
В декартовых координатах уравнения равновесия при отсутствии объемных сил были удовлетворены введением функции напряжений. Аналогичный результат имеет место и в полярных координатах. Пусть 
— функция напряжений. Тогда легко убедиться, что выражения
| (1.71) |
при 
обращают уравнения (1.70) в тождества типа 
.
Обратимся теперь к геометрическим соотношениям. Условимся перемещения точки вдоль осей и обозначать символами 
и 
, а деформации удлинения вдоль осей , и деформацию сдвига (уменьшение прямого угла между осями и — символами 
, 
и 
соответственно.
Выразим деформации через перемещения. С этой целью рассмотрим деформированное состояние 
бесконечно малого элемента, показанное на рис.1.11. С точностью до линейных приращений можно записать
С учетом этих выражений по определению деформаций находим
| (1.72) |
Путем исключения из этих уравнений перемещений можно найти условие сплошности
| (1.73) |
Закон Гука (1.61) сохраняет свой прежний вид и меняются лишь обозначения напряжении и деформаций.
| (1.74) |
При решении плоской задачи в напряжениях помимо уравнений равновесия (1.70) следует привлечь условие сплошности (1.73), выраженное через напряжения. Подставляя (1.74) в (1.73) и преобразовывая их с помощью уравнений равновесия, получим
| (1.75) |
где
| (1.76) |
— дифференциальный оператор Лапласа в полярных координатах.
С учетом (1.71) уравнение Морриса Леви (1.75) примет вид
| (1.77) |
Это и есть разрешающее уравнение метода напряжений в полярных координатах. Это, по существу, — переписанное в полярных координатах уравнение (1.68).