Оптимизация портфеля ценных бумаг по методу У. Шарпа
В 1963 г. американский экономист У. Шарп (William Sharpe) предложил новый метод построения границы эффективных портфелей, позволяющий существенно сократить объемы необходимых вычислений. В дальнейшем этот метод модифицировался и в настоящее время известен как одноиндексная модель Шарпа (Sharpe single-index model).
В основе модели Шарпа лежит метод линейного регрессионного анализа, позволяющий связать две переменные величины - независимую X и зависимую Y линейным выражением типа модели Шарпа независимой считается величина какого-то рыночного индекса. Таковыми могут быть, например, темпы роста валового внутреннего продукта, уровень инфляции, индекс цен потребительских товаров и т.п. Сам Шарп в качестве независимой переменной рассматривал норму отдачи
, вычисленную на основе индекса Standart and Poors (S&P500). В качестве зависимой переменной берется отдача
какой-то i-ой ценной бумаги. Поскольку зачастую индекс S&Р500 рассматривается как индекс, характеризующий рынок ценных бумаг в целом, то обычно модель Шарпа называют рыночной моделью (Market Model),а норму отдачи
- рыночнойнормой отдачи.
Пусть норма отдачи принимает случайные значения и в течение N шагов расчета наблюдались величины
,
,…,
. При этом доходность
какой-то i-ой ценной бумаги имела значения
,
,…,
. В таком случае линейная регрессионная модель позволяет представить взаимосвязь между величинами
и
в любой наблюдаемый момент времени в виде:
где: – доходность i-ой ценной бумаги в момент времени t;
– параметр, постоянная составляющая линейной регрессии, показывающая, какая часть доходности i-ой ценной бумаги не связана с изменениями доходности рынка ценных бумаг
;
– параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности;
– доходность рыночного портфеля в момент t;
– случайная ошибка, свидетельствующая о том, что реальные, действующие значения
и
порою отклоняются от линейной зависимости.
Особое значение необходимо уделить параметру , поскольку он определяет чувствительность доходности i-ой ценной бумаги к изменениям рыночной доходности.
В общем случае, если >1 , то доходность данной ценной бумаги более чувствительная, подвержена большим колебаниям, чем рыночная доходность
. Соответственно, при
< 1 ценная бумага имеет меньший размах отклонений доходности
, от средней арифметической (ожидаемой) величины
, чем рыночная норма отдачи. В этой связи ценные бумаги с коэффициентом
> 1 классифицируются как более рискованные, чем рынок в целом, а с
< 1 - менее рискованными.
Как показывают исследования, для большинства ценных бумаг > 0, хотя могут встретиться ценные бумаги и с отрицательной величиной
.
Ожидаемая доходность портфеля, состоящего из n ценных бумаг, вычисляется по формуле:
где – вес каждой ценной бумаги в портфеле. Подставим в эту формулу выражение для
из формулы (54):
Для придания этой формуле компактности, Шарп предложил считать рыночный индекс как характеристику условной (n+1)-ой ценной бумаги в портфеле. В таком случае, второе слагаемое уравнения (56) можно представить в виде:
где: ;
.
при этом считается, что дисперсия (n+1)-ой ошибки равна дисперсии рыночной доходности: . Выражение (15а) представляет собойсумму взвешенных величин "беты" (
) каждой ценной бумаги (где весом служат
и называется портфельной бетой(
). С учетом выражений (56) и (57) формулу (55) можно записать так:
а поскольку , то окончательно имеем:
Итак, ожидаемую доходность портфеля можно представить состоящей из двух частей:
а) суммы взвешенных параметров каждой ценной бумаги –
…..+
, что отражает вклад в
самих ценных бумаг,и
б) компоненты , то есть произведенияпортфельной бетыи ожидаемой рыночной доходности, что отражает взаимосвязь рынкас ценными бумагами портфеля.
Дисперсия портфеля в модели Шарпа представляется в виде:
При этом необходимо иметь в виду, что , то есть
, а
. Значит, дисперсию портфеля, содержащего n ценных бумаг, можно представить состоящей из двух компонент:
а) средневзвешенных дисперсий ошибок , где весами служат
, что отражает долю риска портфеля, связанного с риском самих ценных бумаг (собственный риск);
б) - взвешенной величины дисперсии рыночного показателя
, где весом служит квадрат портфельной беты,что отражает долюриска портфеля, определяемого нестабильностью самого рынка (рыночныйриск)
В модели Шарпа цель инвестора сводится к следующему:
необходимо найти минимальное значение дисперсии портфеля
при следующих начальных условиях:
Таким образом для построения границы эффективных портфелей в модели Шарпа необходимо выполнить следующие основные этапы:
1. Выбрать n ценных бумаг, из которых формируется портфель, и определить
исторический промежуток в N шагов расчета, за который будут наблюдаться значения доходности каждой ценной бумаги.
2. По рыночному индексу (например, АК&М) вычислить рыночные доходности для того же промежутка времени.
3. Определить величину дисперсии рыночного показателя , а также значения ковариаций
доходностей каждой ценной бумаги с рыночной
нормой отдачи и найти величины :
4. Найти ожидаемые доходности каждой ценной бумаги и рыночной
доходности и вычислить параметр
:
5. Вычислить дисперсии ошибок регрессионной модели
6. Подставить эти значения в соответствующие уравнения
После такой подстановки выяснится, что неизвестными величинами являются веса ценных бумаг. Выбрав определенную величину ожидаемой доходности портфеля
, можно найти веса ценных бумаг в портфеле, построить границу эффективных портфелей и определить оптимальный портфель.