Абсолютная и условная сходимости рядов
Возьмем знакопеременный ряд 
, где числа 
могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда 
.
Определение: Знакопеременный ряд 
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов 
.
Из сходимости ряда следует сходимость ряда .
Определение: Если ряд расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то он называется условно сходящимся.
Так как ряд является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные раннее признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, интегральный и др.
Пример 1: Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: 
.
Решение: Составим ряд из модулей: 
- это гармонический ряд, он расходится. Для исследования на сходимость исходного знакочередующегося ряда применим признак Лейбница: 
- первое условие выполнено;
- второе условие выполнено.
Таким образом , по признаку Лейбница ряд сходится.
Так как ряд из модулей расходится, а сам знакочередующийся ряд сходится, значит, он сходится условно.
Пример 2: Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: 
.
Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов дан-
ного ряда: 
- это обобщенно-степенной ряд. Так как показатель степени 
, то он сходится. Если сходится ряд из модулей, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Степенные ряды
Определение: Выражение вида 
называется функциональным рядом.
Определение:Степенным рядом называется функциональный ряд вида 
где x – независимая переменная, 
- фиксированное число, 
- постоянные коэффициенты.
При 
степенной ряд принимает вид:
.
Определение: Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений x, при которых данный ряд сходится.
Нахождение области сходимости состоит из двух этапов:
1) Определяется интервал сходимости степенного ряда, т.е. интервал 
числовой оси, симметричный относительно точки x=0 и обладающий тем свойством, что при всех 
- ряд сходится. R – радиус сходимости находится по формуле: 
.
2) Исследуется сходимость ряда 
на концах интервала сходимости, т.е. в точках x= -R и x=R .
В зависимости от результатов исследования, область сходимости запишется одним из следующих неравенств:
или 
;
или 
;
или 
;
или 
.
Для степенного ряда вида 
интервал сходимости имеет вид 
или 
.
Пример 1:Найти область сходимости степенного ряда 
.
Решение: Найдем радиус сходимости степенного ряда .
В данном случае 
, тогда
Запишем интервал сходимости: 
. Исследуем сходимость ряда на концах интервала.
При 
получаем числовой ряд 
- это гармонический ряд, он расходится.
При 
получаем знакочередующийся ряд 
. Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница: 
и 
Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно ряд сходится.
Рассмотрим ряд из модулей его членов 
. Как показано выше данный ряд расходится. Отсюда можно сделать вывод, что при заданный степенной ряд сходится условно.
Ответ: Область сходимости ряда 
.