Методические рекомендации к выполнению контрольных работ

Задание 1.

Решение задачи типа 1-10.

Решить систему уравнений следующими методами:

а) методом Крамера,

б) матричным методом.

Решение:

а) Составим определитель системы:

Для его вычисления воспользуемся свойством определителя о том, что величина определителя не изменится, если к элементам любой его строки (столбца) прибавить элементы любой другой строки (столбца), умноженной(го) на число.

(Первую строку умножаем на (-1) и прибавляем ко второй и к третьей строке).

Получим:

Применяя свойство о разложении определителя по элементам любой строки (столбца) (в данном случае по элементам первого столбца), получим:

Составим вспомогательные определители и вычислим их аналогичным образом:

вычисляются по формулам:

б) Для решения системы матричным методом введем обозначения матриц:

(1)

Т.к. то для матрицы А существует обратная матрица А^-1. Найдем обратную матрицу. Для этого вычислим алгебраические дополнения всех элементов главного определителя системы

Союзной матрицей А* для матрицы А будет матрица:

то

Учитывая равенство (1), имеем:

Задание 2.

Решение задачи типа 11-20.

Выясните, образуют ли вектора , , базис. Если образуют, то разложить вектор по этому базису.

Решение:

Вычисляем

Следовательно, векторы , , образуют базис, и вектор линейно выражается через базисные векторы:

или в координатной форме

Решаем полученную систему по формулам Крамера.

Находим:

поэтому

Задание 3.

Решение задачи типа 21-30.

Даны координаты вершин пирамиды :

Найти:

1. Длину ребра , если

Решение:

Ответ:

2. Угол между ребрами и , если

Решение:

Найдем координаты векторов по формулам:

Угол между векторами и вычисляется по формуле:

Ответ:

3. Угол между ребром и гранью .

Решение:

Найдем уравнение плоскости, содержащей точки .

- уравнение плоскости.

Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты

Косинус угла между плоскостью и вектором равен синусу угла между этим вектором и вектором нормали.

Ответ:

4. Площадь грани

Решение:

Грань - треугольник, его площадь вычислим по формуле

, где - модуль векторного произведения двух векторов (сторон треугольника), по определению он равен произведению длин двух векторов на синус угла между ними, т.е. .

Найдем векторное произведение векторов и

Результатом будет вектор с координатами , найдем его длину

Ответ:

5. Объем пирамиды.

Решение:

, где - - смешанное произведение векторов , и

Ответ:

6. Уравнение прямой

Решение:

Каноническое уравнение прямой имеет вид:

, где - точка, принадлежащая прямой - , - направляющий вектор этой прямой – .

Ответ:

7. Уравнение плоскости .

См. пункт 3)

- уравнение плоскости.

Ответ:

Уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .

Вектор нормали к этой плоскости имеет координаты , т.е. он и будет направляющим вектором высоты

Ответ:

Задание 4.

Решение задачи типа 31-40

Даны две вершины и и точка пересечения медиан треугольника ABC. Составить уравнение высоты треугольника, проведенной через третью вершину С.

Решение:

а) Найдем точку пересечения стороны АВ с медианой проведенной к ней.

б) Найдем координаты точки С из того факта, что медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Обозначим координаты (x,y).

в) Найдем координаты вектора

Направляющим вектором высоты, проведенной к стороне АВ будет вектор, перпендикулярный найденному, т.е., например

(-1;1).

С(-2;3)

Эта прямая совпадает с прямой, содержащей медиану АМ.

Ответ: y = -x+1.

Задание 5.

Решение задачи типа 41-50

Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и построить кривую.

Решение:

Для приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду применяют метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые, содержащие текущие координаты. Коэффициенты при и вынесем за скобки: .

Выделим полный квадрат: .

Отсюда . Разделим обе части равенства на 25: . Запишем полученное уравнение в каноническом виде: .

Выполним параллельный перенос осей координат по формулам . При таком преобразовании начало координат переносится в точку , уравнение эллипса принимает канонический вид .

В нашем примере , , , .

Итак, рассматриваемое уравнение определяет эллипс с центром в точке и полуосями и .

Задание 6.

Решение задачи типа 51-60.

Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется построить линию по точкам, начиная от до и придавая значения через промежуток .

Задание 7.

Дано комплексное число . Записать это число в алгебраической и тригонометрической формах.

Решение:

Чтобы записать число z в алгебраической форме , умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю

Итак, алгебраическая форма числа .

Запишем данное число в тригонометрической форме. Имеем: . Получим:

; ; .

Угол, для которого косинус положителен, а синус отрицателен, находится в четвертой четверти. Следовательно, . Число z в тригонометрической форме запишется в виде:

Задание 8.

Решение задачи типа 71-80

Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а)	б)
в)	г)
д)	е)
ж)

Решение:

а)

Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим квадратные трехчлены на линейные множители по формуле

Имеем:

Сократив общий множитель , получим:

б)

Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножим, и числитель, и знаменатель данной дроби на выражение, сопряженное числителю (знаменателю), а именно: . Имеем:

Для упрощения числителя воспользуемся формулой:

, где

Разложим первый сомножитель знаменателя по формуле:

, где

в)

Если числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические многочлены и имеется неопределенность вида , то для ее раскрытия и числитель, и знаменатель делят на х в старшей степени. В данном случае старшая степень 3, поэтому, и числитель, и знаменатель делим на , имеем:

(по теореме о пределе частного, имеем)

(по теореме о пределе суммы, имеем)

г)

Имеем также неопределенность вида .

Старшая степень х равна 5. Поэтому делим и числитель, и знаменатель на . Имеем:

т.к. предел числителя равен 2, а знаменателя 0.

д)

Для вычисления данного предела, и числитель, и знаменатель дроби делим на , имеем:

е)

Имеем неопределенность вида: .

Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом:

или

ж)

Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия будем использовать первый замечательный предел:

Для этого сделаем следующие преобразования:

Задание 9.

Решение задачи типа 81-90

Исследовать на непрерывность, выяснить характер точек разрыва и изобразить графически следующие функции

Решение:

а) Построим график данной функции, составляющими которой являются линейная функция , квадратичная функция (на промежутке ) и линейная функция .

Исследуем функцию на непрерывность. К точкам, в которых возможно функция терпит разрыв, относятся точки (точки, где функция меняет свое аналитическое задание).

Для того, чтобы функция в точке была непрерывна необходимо и достаточно, чтобы

Проверим это условие для точки :

Условие выполнено, значит функция в точке непрерывна.

Аналогичным образом исследуем на непрерывность в точке .

Функция в точке терпит разрыв I рода.

Задание 10.

Решение задачи типа 91-100

Найти производные следующих функций:

а) б)

в) г)

Решение:

а)

При нахождении производной данной функции воспользуемся следующими формулами:

Имеем:

б)

При вычислении производной данной функции воспользуемся формулой:

Имеем:

(*)

При вычислении производной первого сомножителя воспользуемся формулой , где

При вычислении производной второго сомножителя воспользуемся следующей формулой:

Подставляя вычисленные производные в равенство (*), имеем:

в)

В данном случае сначала воспользуемся формулой:

Производную числителя и знаменателя вычисляем, используя формулу

т.к. .

В результате:

Задание 11.

Решение задачи типа 101-110.

Найти для функции, заданной параметрически:

Решение:

По формуле

Имеем:

Для нахождения производной второго порядка воспользуемся формулой

Задание 12.

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию. На основании результатов исследования построить график этой функции

Решение:

1) .

2) Функция ни четная, ни нечетная.

3) асимптоты

а) ,

-вертикальная асимптота.

б)

Следовательно, - наклонная асимптота.

при

не существует при

-точка максимума функции.

-точка минимума функции.

не существует при

6) Найдем точки пересечения с осями:

При .

При квадратное уравнение не имеет корней, следовательно график не пересекается с осью

Задание13.

Найти частные производные функции

Решение:

Считая постоянной (тогда и const), находим:

Считая постоянной, имеем:

Задание 14.

Найти неопределенные интегралы.

а) .

Решение:

Т.к. , то

Проверка:

Решение:

Положим

Найдем

Применяя формулу интегрирования по частям

Решение:

Данная подынтегральная дробь – неправильная, поэтому сначала выделим целую часть

Представим дробь в виде суммы простейших дробей:

Тогда , следовательно .

Получим

Решение:

Применим формулу понижения степени:

Задание 15.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение:

Найдем абсциссы точек пересечения прямой с параболой, решив систему уравнений:

Решая эту систему получим Это и будут пределы интегрирования. Это и будут пределы интегрирования.

Итак, данные линии пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой равна:

Задание 16.

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и осью Oх.

Решение:

Графиком функции является парабола с вершиной в точке (1;1), пересекающая ось Oх в точках (0;0) и (2;0). Таким образом, отрезок интегрирования – [0;2].

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Oх, фигуры ограниченной линиями и прямыми вычисляется по формуле: .

Получим:

Задание 17.

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

Решение:

В силу определения имеем:

Интеграл сходится.

Задание 18.

Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка.

Решение:

Это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными т.к. коэффициент при dx представляет собой произведение двух сомножителей: e^x зависит только от x, а (1+y²) – только от y. Аналогично, коэффициент при dy тоже является произведением двух сомножителей: (1+e^x) зависит только от x, а второй сомножитель – y.

Чтобы привести его к виду с разделенными переменными, разделим все члены уравнения на (1+e^x)(1+y²), в результате получим:

Решим это уравнение. (Заметим, что постоянную С можно записывать как ).Здесь произвольную постоянную удобнее взять в виде .

-это общий интеграл исходного уравнения.

Решение:

Введем замену . Тогда а

Заданное уравнение принимает вид:

Возвращаясь, к замене получим:

Решение:

Заданное уравнение является ЛНДУ. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: . После этой подстановки данное уравнение примет вид:

Вынесем за скобки u:

(*)

Найдем одну из функций v, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: . Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.

Подставим найденную функцию в уравнение (*).

Т.к. y = uv, то - общее решение данного уравнения.

Задание 19.

Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка, допускающего понижение порядка:

Общее решение этого уравнения находим последовательным трехкратным интегрированием. Имеем:

Полагаем , тогда и уравнение примет вид:

Интегрируя получим: , .

Следовательно, .

Интегрируя последовательно три раза, получим:

Полагаем , тогда

Уравнение примет вид: .

Решая его получим:

или , или .

Решая уравнение, мы делили его на и на .

Но и могут быть включены в общее решение, если считать, что и могут принимать значение ноль.

Задание 20.

Решить задачу Коши:

Решение:

Характеристическое уравнение: имеет корни

Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные им соответствуют частные решения

Следовательно, общее решение

Подставляя начальные условия в найденное общее решение и его производную:

получим систему:

Решая ее, получим: .

Тогда частное решение примет вид:

Задание 21.

Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение:

Решение:

характеристическое уравнение имеет корни

Поэтому общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

Частное решение будем искать в виде:

Найдем коэффициенты А, В и С, для этого и подставим в исходное уравнение.

Отсюда - частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение

Задание 22.

Найти общее решение системы уравнений:

Решение:

Составим характеристическое уравнение системы

или

При уравнения для определения собственного вектора имеют вид:

и сводятся к одному уравнению: .

Из которого определяем вектор, например, . При получаем уравнения

или

Это уравнение определяет вектор, например, .

Получаем функциональную систему решений:

при

Общее решение системы имеет вид:

Задание 23.

С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры D, ограниченной линиями

Решение:

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями и

где вычисляется с помощью интегрирования по частям:

Следовательно,

Задание 24.

С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: . Сделать чертеж проекции данного тела на плоскость Оху

Решение:

Найдем проекцию тела на плоскость Оху

Задание 25

Вычислить криволинейный интеграл первого рода:

где

Решение:

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла, причем способ такого сведения зависит от представления кривой интегрирования . Если задана уравнением где функция имеет непрерывную производную для , то

Если задана параметрически: где функции имеют непрерывные производные , для то

Если задана в полярных координатах уравнением и функция имеет непрерывную производную для , то

В рассмотренном примере используется явное задание кривой уравнением . Поэтому, используя первый способ сведения интеграла по длине дуги к определенному, получим:

Задание 26.

Вычислить криволинейный интеграл второго рода

вдоль дуги дуга параболы от точки до точки Сделать чертеж.

Решение:

Воспользуемся формулой:

A B

1 2 x

Задание 27

Даны векторное поле и плоскость которая совместно с координатными плоскостями образует пирамиду Пусть - основание пирамиды, принадлежащие плоскости - контур, ограничивающий n-нормаль к направленная вне пирамиды Вычислить:

1) поток векторного поля через поверхности внаправлениинормали n;

2) циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру непосредственно и применив формулу Стокса к контуру и ограниченной им поверхности с нормалью n;

3) поток векторного поля через полную поверхность пирамиды в направлениивнешней нормали к ее поверхности непосредственно и по формуле Остроградского. Сделать чертеж.

Решение: