Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим важный и весьма распространенный случай, когда в уравнении вида
![]() | (8.6.1) |
где и
– постоянные величины.
Определение
Уравнения такого вида называются линейными дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Как и в общем случае линейных дифференциальных уравнений второго порядка, основой в построении решения являются однородные уравнения.
Рассмотрим линейное однородное уравнение
![]() | (8.6.2) |
где и
– вещественные числа. Будем искать решение этого уравнения в виде
, где
– некоторое число. Подставляем эту функцию в уравнение (8.6.2):
.
Сокращая обе части уравнения на получаем квадратное уравнение:
![]() | (8.6.3) |
Таким образом, если число k является корнем уравнения (8.6.3), то функция есть решение однородного уравнения (8.6.2). Уравнение (8.6.3) называется характеристическим уравнением для уравнения (8.6.2).
Теорема: Если корни характеристического уравнения (8.6.3) вещественные и , то общее решение однородного уравнения (8.6.2) имеет вид
![]() | (8.6.4) |
Если корни характеристического уравнения (8.6.3) вещественные и равные , то общее решение однородного уравнения (8.6.2) имеет вид
![]() | (8.6.5) |
Если корни характеристического уравнения (8.6.3) комплексные , то общее решение однородного уравнения (8.6.2) имеет вид
![]() | (8.6.6) |
где ,
.
Во всех трех случаях и
– произвольные постоянные.
Заметим, что в последнем случае корни характеристического многочлена с действительными коэффициентами представляют собой комплексно–сопряженные числа в алгебраической форме.
Пример
Решить задачу Коши ,
,
.
Решение
Решение ищем в виде . Подставляя решение в уравнение, находим характеристическое уравнение
. Его корни:
,
. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:
. Найдем такие значения постоянных
и
, при которых выполняются заданные начальные условия. Так как
,
, то постоянные
и
находим, решая систему:
. Частное решение уравнения имеет вид
.
Пример
Решить задачу Коши ,
,
.
Решение
Решение ищем в виде . Подставляя решение в уравнение, находим характеристическое уравнение
. Его корни:
. Тогда общее решение данного уравнения имеет вид:
. Найдем такие значения постоянных
и
, при которых выполняются заданные начальные условия. Так как
, т.е.
;
, то
. Таким образом, частное решение имеет вид
.
Перейдем теперь к решению линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами.
Это уравнение может быть в частности решено методом вариации постоянных, который состоит в следующем. Сначала находится общее решение однородного уравнения . Затем предполагается, что постоянные
и
являются функциями независимой переменной
. При этом функции
и
могут быть найдены как решения системы:
![]() | (8.6.7) |
Пример
Решить уравнение .
Решение
Решение однородного уравнения есть функция . Полагая теперь, что
и
являются функциями независимой переменной
, найдем первые производные этих функций, решая систему:
.
Найдем ,
. Полученные дифференциальные уравнения – с разделяющимися переменными. Решая эти уравнения, получаем:
,
. Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:
.
Обратим внимание на структуру полученного решения. Первые два слагаемых – это общее решение однородного уравнения, последнее – частное решение неоднородного уравнения.